基于“圆筒假设”的圆轴扭转应力分析

　　引言

　　《工程力学》是一门专业技术基础课, 在高等学校基础课程教学中占据着重要地位, 很多工科院校对力学的教学要求越来越高。与此同时, 根据人才培养总体优化过程中的要求, 在新的教学计划中, 课程的教学总学时数大幅度减少, 因而, 基础力学课程的教学时数也在不断减少[1]。所以, 如何提高课程教学效率, 压缩课程教学时数, 力求在有限的学时内使学生既掌握最基本的经典内容,又能不断拓宽分析问题的思路和方法, 显得尤为重要。

　　目前工程力学教材中有关变形体公式的推导都是建立在平面假设基础上, 推导分析过程较为抽象、复杂, 学生不容易理解和接受。本文以圆轴扭转应力分析为例, 来介绍另外一种假设分析方法。基于该假设方法基础上的扭转剪应力分析推导, 形象生动、过程简捷, 有助于工程力学的教与学。

　　1 基于“平面假设”的圆轴扭转应力分析

　　目前几乎所有力学教材的应力分析方法都是根据圆轴扭转的变形特征, 假设圆轴由许许多多的横截面组成如图 1 所示, 各横截面均为刚性平面即圆轴扭转变形前后各平面形状、大小不变, 且相邻两横截面间的距离不变。受扭时各横截面绕轴线相对转动[2]。在平面假设的基础上, 综合考虑几何、物理、静力学等三方面的关系来研究圆轴受扭时的应力。分析推导过程复杂, 涉及的几何、物理参数较多, 学生较难理解和接受。

　　2 基于“圆筒假设”的圆轴扭转应力分析

　　首先, 假设圆轴由许多层直径不同薄壁圆筒( 厚度 δ≤110D) 组成, 受扭时每层圆筒之间无相对转动。根据这一假设, 圆轴扭转变形时, 各层圆筒的扭转角!相等, 如图 1 所示。

　　2.1 几何关系

　　从圆轴中取出长为 dx 的微段分析。根据扭转变形特征, 圆轴受扭后其半径转到了位置。表层圆筒相距为 dx 的截面相对转角为 d!, 角应变为"如图 3(a)所示。根据表层圆筒的变形几何关系, 则有

　　离圆心距离为的内层圆筒扭转变形如图 3(b)所示。同理可得该层圆筒的变形几何关系

　　由(1) 和(2) 式得横截面上任意点的应变与该点到圆心的距离成正比, 即

　　2.2 物理关系

　　根据剪切虎克定理, 在弹性范围内

　　由(3)、(4)两式可得 "#∝#, 令

　　λ为比例常数

　　2.3 静力学关系

　　在横截面内按极坐标取微分面积 dA(如图 4 所示)。dA 面积上的微内力对圆心的力矩为 #τ#dA[3]。积分得横截面的内力系对圆心的力矩为