弹性阶段扭转尺度效应的研究

　　近年来越来越多的实验发现和证实,微尺度下材料的行为和常规尺度下材料的行为有显著的不同。当非均匀塑性变形的特征长度在微米或亚微米量级时,材料呈现出很强的尺寸效应。例如:Fleck[1]等在细铜丝的扭转实验中观察到,当细铜丝的直径由170Lm减小到12Lm时,无量纲化的扭转硬化增长了几乎2倍,而在细铜丝的单向拉伸实验中,则基本上看不出尺寸效应。Sotlken和Evnas[2]在薄镍梁的微弯曲实验中观察到当梁的厚度从100Lm减小到12.5Lm时,无量纲化的弯曲强度增加约2倍。Lloyd[3]在碳化硅粒子增强的铝)镁基复合材料实验中发现,在保持增强相粒子体积比为15%的情况下,将增强相颗粒的直径从16Lm减小到7.5Lm时,复合材料的宏观强度有显著的提高。不同的金属材料的微压痕实验表明,随着压痕深度从50Lm减小到1Lm,测得的压痕硬度增加了1~2倍[4~8]。著名的HallPetch效应也表明,纯金属的屈服强度随晶粒尺寸的缩小而增大。所有这些实验都显示材料在微米和亚微米量级时是/越小越硬。

　　由于在经典的弹塑性理论中不包含任何以长度为量纲的材料参数,对于不同尺度的材料所预测的性质都相同,因此无法解释以上实验中观察到的尺寸效应。发展了的应变梯度理论可以很好地解释塑性变形下的尺度效应问题,但是近年来实验发现在弹性阶段存在很强的弹性尺度效应,用经典理论也无法预测,但用新理论可以预测出来。本文是在非均匀有限弹性变形的理论的基础上讨论其在微杆扭转动、静态的弹性的尺度效应的问题。承接弹性阶段弯曲下尺度效应的研究6[9],直接讨论新理论下扭转公式推导的问题。

　　1 扭转公式的新推导

　　对于圆柱截面梁的纯扭转的问题,新理论(包括该平衡方程)和经典理论可以有不同的理解,假设在有限变形(旋转)下平面假设仍成立,应用经典理论横截面上只有剪应力。经典理论认为纯扭转体内只有剪应力的作用,剪应力是使扭转体变形的原因,其几何、物理和静力3个方面的关系分别为:

式中:是扭转角φ沿x轴的变化率;ρ是距圆心的距离。以τρ表示横截面上距圆心为Q处的剪应力,由剪切胡克定律可知:

式中G为应力理论下的剪切弹性模量。

　　将式(1)代入式(2)可得:

　　应力理论考虑横截面的扭矩T是由剪应力引起的,设横截面积为A,

式中令:,其中Ip为横截面对圆心0点的极惯性矩。

　　在应用非均匀有限弹性变形理论[10,11]中,横截面上不仅有剪应力,而且还有扭应矩,根据文献[10]的公式推导,它们的公式分别为

　　由于应变和扭矩的关系在两种理论中都是正比关系,容易得到扭转角φ沿x轴的变化率与扭矩的T关系为