平面弯曲梁内力计算的数学模型与应用

　　通常,人们把承受弯曲变形的杆件称为梁.梁上内力指的是梁上的剪力与弯矩,在工程力学中,它们是计算应力和变形的参数,根据剪力和弯矩的数学模型编程计算,对于强度校核与刚度校核具有非常重要的实际意义.

　　1　关于奇异函数

　　本文以奇异函数作为推导的基础,它是这样定义的:

　　对于n >0(n为非负整数)的情形,〈x-a〉n=0(x 称〈x-a〉n为奇异函数.

　　2　数学模型

　　2.1　集中力作用下的数学模型

　　2.1.1　剪力

　　2.1.2　弯矩

　　2.1.3　约束力的数学模型

　　假定在n +1个集中力中有FR和FJ是约束力,其数学模型因篇幅关系从略.

　　2.2　分布载荷作用下的数学模型

　　2.2.1　分布力为常数时的数学模型

　　2.2.1.1　载荷集度

　　2.2.1.2　剪力

　　2.2.1.3　弯矩

　　2. 2. 1. 4　约束力的数学模型(略)

　　2.2. 2　分布力为一次函数(斜率为正)时的数学模型

　　在这种情况下fi(x) =Kix,而Ki=q0iLi(q0i为Li上右侧端点的数值).

　　2.2.2.1　载荷集度

　　2.2.2.2　剪力

　　2.2.2.3　弯矩

　　2. 2. 2. 4　约束力的数学模型(略)

　　2.2. 3　分布力为一次函数(斜率为负)时的数学模型

　　在这种情况下fi(x) =-Kix,而Ki=q0iLi(q0i为Li上右侧端点的数值)

　　2.2.3.1　载荷集度

　　2.2.3.2　剪力

　　2.2.3.3　弯矩

　　2. 2. 3. 4　约束力的数学模型(略)

　　2. 2. 4　分布力为m次函数时的数学模型

　　2.2.4.1　载荷集度

　　2.2.4.2　剪力

　　2.2.4.3　弯矩

　　2. 2. 4. 4　约束力的数学模型(略)

　　2.3　集中力偶作用下的数学模型

　　2.3.3　弯矩

　　2.3.4　约束力数学模型(略)

　　3　应用说明

　　根据上述数学模型,依据叠加原理,即可编程处理各种不同受力情况下梁的内力计算问题.

　　3.1　绘制剪力图与弯矩图

　　对于图7所示的梁,利用上面介绍的数学模型,可以编程计算梁上剪力与弯矩并绘制出对应的剪力图与弯矩图.这种受力形式,其计算的数学模型为均布力q单独作用和集中力偶qa2单独作用这两种情况的叠加.由程序绘制的剪力图与弯矩图,见图8和图9.