简谐载荷作用下连续体结构位移响应拓扑优化

    现代工程对结构动态性能的要求越来越高， 故动态响应的结构拓扑优化问题受到了越来越多的重视。目前研究较多的动力学拓扑优化问题主要是结构固有频率优化，以使结构低阶固有频率避开外部激励频率,避免共振发生。在实际工程中，需要对结构中某些位置的位移响应幅值进行优化， 因此需要研究在动力载荷下结构位移响应幅值的拓扑优化［1］。 航空航天设备在工作时会受到各种周期性振动激励, 这些周期性振动激励可通过傅里叶级数展开为多个简谐激励的和，因此研究关于简谐激励下结构位移响应幅值的拓扑优化具有重要的工程价值。

    动位移响应的求解方法主要有完全法与模态叠加法。其中，完全法求解计算量大，只适用于小规模问题，在实际工程问题中较难适用。 而模态叠加法具有计算效率高的优势， 因此本文采用模态叠加法求解结构动位移响应。振动响应求解方法又分为时域法和频域法，本文应用了频率响应法［2］来求解结构的动位移响应。结构动位移响应拓扑优化的难点为动位移响应灵敏度分析，彭细荣［1］等提出了利用伴随法求解动位移灵敏度，并利用 ICM 法建立了强迫谐振动位移幅值约束下的连续体结构拓扑优化模型；徐斌［3］等利用 ESO 方法进行了以简谐激励下结构动位移为约束的拓扑优化，使用性能指标当作删除或保留单元的依据。 本文提出了一种结构动位移响应灵敏度的直接求解方法， 并对其灵敏度进行了推导。

    本文采用变密度法进行结构关于动位移响应的拓扑优化。为避免分析过程中出现的局部模态，采用多项式插值模型建立单元伪密度与材料属性之间的关系。同时为了避免了优化过程中的棋盘格现象，本文使用了灵敏度过滤方法。

    1 简谐载荷下结构位移响应幅值分析

    受迫振动的系统运动方程为：

    mx+cx+kx=f（t） （1）

式中：m、c、k 分别为系统的质量、 阻尼和刚度矩阵，它们均为 n×n 阶实对称矩阵；x、 f（t）分别代表 n 维矢量振动位移响应与 n 维矢量简谐激励力载荷。

    式（1）对应的无阻尼系统自由振动方程为：

    mx+kx=0 （2）

    每个固有频率 ωi对应的系统的特征方程为

    （k-ωi²m）φi=0 （3）

    从式 （3） 可解得系统的第 i 阶圆频率 ω_i和振型φ_i。 设 φ 为质量归一化振型矩阵（φ=［φ₁，…，φn］），其在经典阻尼下，满足：

式中：ξi为第 i 阶模态的阻尼比。 设：

    x=φy （5）

    式（1）可化为：

    这样经典阻尼系统的响应问题就简化为 n 个阻尼谐振子的响应问题。 式（7）为标准二阶系统形式，当阻尼为亚临界时（ζi<1）系统的频率响应矩阵为：