几何参数表达的压杆挠曲线方程的解析与应用

    考虑轴力影响的完善体系和非完善体系的内力、变形分析以及上述两种体系的稳定性计算两类问题是结构力学的几何非线性涉及到的问题。由于问题的繁琐性、复杂性，多年来在结构力学多种教材中对第一类问题很少触及，求解结构临界荷载的方法也比较复杂。文中将把两类几何非线性问题统一转化为根据边界条件和力的平衡求解几何参数表达的压杆挠曲线方程的待定系数的问题，当确定出挠曲线方程，解决了压杆挠曲线的自由度问题后，进而提出判断结构稳定或失稳的标准，计算过程得以大大简化。

    1 压杆挠曲线方程的解析表达式

    坐标系的选取：坐标原点，以未发生变形的直线平衡状态的杆端 0 为坐标原点；轴向力，以压力为正；剪力，在杆0端与 y 轴方向一致为正，在杆l端与 y 轴方向一致为负；弯矩，使截面产生曲率为负值的截面弯矩为正。将轴向力NF 作用于杆端，受力变形后的压杆挠曲线方程为[1―2]：

式中：  为压杆的计算长度系数，可由下式计算：

    ζ为反弯点位置取值系数，x正方向第 1 个反弯点到原点的距离由  l 表示； A、3A 、4A 为未知的积分常数。

    由式(1)可得出杆挠曲线上某一点切线与 x 轴的夹角的正切为：

    2 解析表达式的拆分

    正 弦 曲 线与 一 斜 直 线3 4A x   A组成了压杆变形的挠曲线方程式(1)。与挠曲线的分解相对应，引起压杆弯曲的杆端轴力、弯矩与剪力也可以拆分为轴力与弯矩的组合以及轴力与剪力的组合。

    2.1 轴力与弯矩的组合

    如图 1(c)所示，在轴力与弯矩共同作用下，使压杆发生正弦曲线变形的受力状态为二力杆的欧拉屈曲受力状态。正弦曲线可理解为欧拉临界荷载 作用下的二力杆的屈曲挠曲线，半个周期的长度为   l。在欧拉临界荷载作用下，二力杆的剪力为零，杆的变形曲线为正弦曲线上长度为l 的一段曲线，杆端弯矩等于轴向力与该力至 x轴距离的乘积[3]，正弦曲线的最大侧移可用 A表示。

    2.2 轴力与剪力的组合

    如图 1(d)所示，在轴力与剪力共同作用下，使压杆发生斜直线变形的受力状态为二力杆的直线平衡状态。杆端剪力与轴向力NF 的合力作用线通过杆的截面形心，x    0处的剪力Q0F 可由杆端侧向支撑的刚度与侧向位移的乘积求得，斜直线斜率取值为：

    2.3 变形及受力状态的叠加

    轴力与弯矩组合、轴力与剪力组合均将轴力的影响考虑在内，两种受力状态的叠加符合几何非线性问题的叠加原则[4]。

    3 应用挠曲线方程时的相关概念