梁纯弯曲的大变形分析

　　在弹性力学平面应力问题中,矩形截面梁纯弯曲应力中的Ry=0[1]。但是,当梁发生大变形时,考虑沿垂直y方向纵向截面切下的分离体的平衡,则y不会为零。对此问题的分析,须采用非线性理论方法。用变形前确定物体各点位置坐标的拉格朗日法[2]是很难求解这一问题的。欧拉用变形后确定各点位置坐标法求得了压杆超临界大变形的精确解[3]。

　　本文采用欧拉法求解纯弯梁大变形的几何非线性问题。

　　1 平面应力问题的非线性弹性力学分析

　　1.1 应变分析

　　平面梁在两端沿高度线性分布外力所形成的纯力偶作用下将弯曲成一圆弧扇形。力的平衡应取在变形后的位置上,故变形后应取为极坐标。微分单元体应为矩形,并符合剪应力为零的要求,以此为基础来建立应变与位移的关系。

　　如图1所示,设在直角坐标系中,物体变形前任一点P₀的位置矢量为R₀,变形后该点移至P,位移矢量为u,位置矢量为R,则有

　　式中i、j分别为沿x、y方向的单位矢量。采用欧拉法[4],将变形后物体任一点的位置用正交曲线坐标表示为:R=x (A1,A2)i+y (A1,A2)j,求微分可得

e₁、e₂分别为沿α₁、α₂方向的单位矢量。设位移矢量u=u₁e₁+u₂e₂,则变形前点的位置矢量可表为:R₀=R-(u₁e₁+ u₂e₂),求微分可得

　　e⁰₁、e⁰₂分别为沿α₁、α₂方向的单位矢量。变形前微段dR₀在e⁰₁、e⁰₂方向的投影分别为A⁰₁dA1和A⁰₂dA2。由此得单位伸长ε₁和ε₂为

　　1.2 平衡方程和虎克定律

　　变形后的微分单元体的微分面之间正交,四个微分面上无剪应力,由平衡方程得

　　非线性弹性理论的本构方程是建立在应力与格林应变的关系上的[4]。本文则改用虎克定律为

　　2 应力与位移的计算

　　2.1 应力计算

　　如图2所示,中性层圆弧半径为r0,两端边界的径线角为θ=±θ₀,分布外力的强度在上下边界处为±p.变形后点的坐标可表为:。

　　令α₁=θ,α₂=r,代入(3)式及(10)式可得

　　由(12)式的第一式可知σ_θ与θ无关,并注意到相应的边界条件,则周向与径向应力为

　　2.2 位移计算

　　令α₁=θ,α₂=r,代入(3)式及(8)式可得

　　用非线性关系式(9)来求解位移是很困难的。为求近似解,将根号按二项式定理展开,然后略去非线性项可得:ε₁=e₁₁,ε₂=e₂₂,并利用(13)、(14)式,代入(11)式可得