基于有限元法的柔性体变形实时模拟

    ０　引　　言

    在现实世界中，软性体相对于刚性体来说更加普遍．柔性体是可变形的固体，当受到外力作用时，会发生弹性形变．由于弹性材料中质点的连续性，各质点之间存在着相互作用，当弹性体中一点处发生变形时，质点间的牵扯力会引起物体中其他质点发生相应的变化．随着计算机技术的发展，软性体变形的模拟也越来越多地出现在动画、影视、游戏中．对于柔性体的变形模拟主要有２种模型：基于几何形态的模型和基于物理机制的模型．如陈定方等［１］提出了一种基于多曲线拟合的弹性体建模仿真方法，该方法从几何形态对弹性体的变形进行了实时模拟，其方法简单便捷，但只适用于那些能用曲线函数来拟合的规则变形．基于物理建模的变形体模拟开始于Ｔｅｒｚｏｐｏｕｌｏｓ等［２］的工作．从此，出现了几种基于物理模型的柔性体变形算法，例如质点－弹簧、基于能量法等．为了使柔性体变形的模拟更具有物理真实感，基于有限元法的变形算法也越来越多地运用于柔性体的实时变形模拟中．

    本文利用４节点的四面体网格对柔性体进行了三维实体建模，考虑到非线性有限元的大量计算消耗，选用线性的有限元方法来实现实时的交互模拟．由于线性的有限元不适用于单元体旋转情况下的模拟，采用Ｍüｌｌｅｒ等［３］提出的方法，在计算单元节点力的时候考虑其旋转因素，并对其进行修正．

    １　有限元模型

    设Ｕ（Ｘ）是变形体上任意点的位移空间，需要把连续的位移空间Ｕ（Ｘ）用离散的网格单元上的顶点位移向量表示，这里，选用４节点的线性四面体单元．四面体单元的形函数为Ｎｅ＝［Ｎ_１，Ｎ_２，Ｎ_３，Ｎ_４］，则在每个四面体单元ｅ内部，其位移空间可以用线性插值表示为：Ｕ（Ｘ）＝Ｈｅ（Ｘ）·＾Ｕ．式中：Ｈｅ（Ｘ）＝［ＩＮ１，ＩＮ２，ＩＮ３，ＩＮ４］为由形函数组成的３×１２形函数矩阵；Ｉ为３×３的单位阵；＾Ｕ＝［ｕ１，ｖ１，ｗ１，…，ｕ４，ｖ４，ｗ４］Ｔ是由四面体单元４个节点的位移所组成的向量．根据变形协调方程，其应变ε空间，也可以由４个节点的位移向量得出：ε＝Ｂｅ·＾Ｕ．式中：Ｂｅ为６×１２矩阵，且该矩阵在变形过程中保持不变，可由每个四面体单元预先计算得到．

    １．１　单元刚度矩阵

    根据物理方程，应力与应变的关系为：σ＝Ｄε＝ＤＢ＾Ｕ．式中：Ｄ为弹性矩阵，对于各向同性材料，只取决于材料的杨氏模量Ｅ和泊松比ｕ．在一个四 面 体 单 元 内 的 能 量 为＾ＵＴＢＴｅＤＢｅ＾ＵＶｅ，Ｖｅ单元的体积．在弹性极限内，应用虎克定律，弹性力ｆｅ与节点位移的关系为ｆｅ＝Ｋｅ＾Ｕ，根据虚功原理得到Ｗ ＝＾Ｕｆｅ ＝＾ＵＴＫｅ＾Ｕ，由Ｗ ＝Ｅ可以得到１２×１２的单元刚度矩阵为Ｋｅ＝ＢＴｅＤＢｅＶｅ．