不同基体平面压痕应力强度因子

    接触问题会引起局部的应力集中，当物体的几何条件、物理参数满足一定条件时会产生局部急剧的应力变化梯度，甚至奇异应力场。与裂纹情形类似，当载荷达到临界值时，在应力奇异环处开裂，形成一个圆环形的浅（微）裂纹。尤其是刚性压头冲压弹性半平面基体时，在两个角点处产生奇异应力场。这类应力场不仅会导致材料的开裂和失效，也会引起触压边界的开裂［１］。在这两种情况下，应力强度因子均表现为断裂参数，也是奇异应力场的唯一控制参量。该断裂参量是导致工程部件失效的主要因素［２－４］。本文将基于文献［５］提出利用无裂纹接触问题生成Ｉ型奇异应力场的原理进行数值分析。

    １　接触问题和守恒律

    压头的几何形状如图１（ａ）所示。假设接触表面足够光滑，使接触面没有因摩擦产生的剪应力。刚性方形压头宽为２ｌ，作用载荷Ｐ，压在无摩擦的半平面上，泊松比为μ。文献［６］经典分析给出的接触压力分布如下：

    改变坐标ｘ１＝ｒ－ｌ，应用二项分布扩展方程，当ｒ非常小时，得到压头尖角附近的压力变化

    这些应力分量和图１（ｂ）所示的ｘ２＝０时Ｉ型裂纹产生的应力分量的表达式一样，实际上，沿线ｘ２＝０的边界条件等同于接触裂纹问题，这两个问题内部应力状态的奇异性相同，文献［５］给出其应力分布如下：

    （３）式中延用了裂纹问题的应力强度因子习惯表示方法，但为压应力场。其中ＫＩ定义为基体近表面头角点处的奇异应力场的应力强度因子，或压痕边缘处奇异应力场的应力强度因子，表示为：

    如果方程（３）中的负号改为正号，这个结果和在远场承受载荷Ｐ时的无限平板裂纹（裂纹韧带长度为２ｌ）的情形一样。与裂纹题类似，表明压头拐角附近存在Ｉ型奇异应力场和Ｋ－控制区。如方程（３）所示，应力强度因子ＫＩ是唯一控制应力场的参数，这意味着，沿着接触表面的边界裂纹和Ｉ型裂纹有着同样的破坏机理。实际工程结构中可利用奇异应力场，研究材料的破坏行为、测试材料的机械性能。

    对于二维弹性体，文献［７］由守恒定律得出下面的积分

方程（５）有两个分量Ｊ１和Ｊ２。其中ｗ是应能密度；ｎｊ是外法线矢量；Ｔｉ是沿积分路径的应力矢量；ｕｉ，ｊ位移分量。对于没有裂纹和空穴的封闭积分路径，Ｊｉ为０。Ｊ１称为Ｊ－积分和Ｊ２称为Ｇ＊－积分［８］。它们都可用于计算弹性体裂纹的应力强度因子［９－１０］。下面给出Ｊ１积分在刚性压头冲压弹性平面情况下计算应力强度因子中的应用。