永磁磁共振系统盘式梯度线圈的设计

　　在磁共振成像(MRI)系统中,梯度线圈是MRI系统的重要组成部分,用于在成像区内沿空间某个方向产生线性变化的磁场,其性能在很大程度上制约着成像速度和分辨率.通常,磁共振成像系统包含有三对梯度线圈,用于产生彼此相互正交的三个梯度磁场.它们分别用于层面选取、相位编码和频率编码,以便为图像重建提供定位依据.随着高速成像技术的发展,梯度线圈的设计方法不断地被改进和完善,高性能梯度线圈的设计已经成为MRI磁体系统的研究热点之一.Liu[1,2]和Larry[3,4]曾经采用把电流密度在直角坐标系下进行傅立叶级数展开的方法对矩形梯度线圈进行了设计,L. Petropoulos[5,6]把电流密度在圆柱坐标系下进行傅立叶级数展开的方法对圆柱梯度线圈进行了设计,并结合流函数技术对线圈进行了离散化[7].Zhu[8]提出了基于实空间的形变空间法优化设计双平面梯度线圈.永磁MRI系统的极板为圆盘状,需要设计相应的盘式梯度线圈来满足要求.我们从Biot-Savart积分方程出发,把电流密度在极坐标系下进行傅立叶级数展开,根据目标场点要求,采用流函数离散技术,设计了平面圆盘状的梯度线圈.

　　1　理论分析

　　图1为永磁MRI系统双平面梯度线圈的一个示意图.假设电流密度分布在z=±a的平面圆盘上,圆盘半径为R0,本研究的目的是求得平面电流密度J,这个电流密度能够在已知的球状成像区内(diameterof sphere volume, DSV)内产生所需的磁场分布Bzdes(x0,y0,z0).根据Biot-Savart积分方程,有

　　(其中,r =| r0-rs|;μ0为真空磁导率;r0为成像区内场点坐标;rs为未知的源点坐标).设主磁场的方向为Z方向,梯度场强B的Z向分量Bz.假设在极坐标系下平面电流密度的分量Jρ(ρ,φ)和Jφ(ρ,φ),则存在下式

　　将电流密度在极坐标系下展开成傅立叶级数的形式,根据电流连续性方程 ·J =0,对于x方向的梯度线圈,有

　　其中,An为待求的傅立叶系数,N为有限项数.

　　下面以x线圈为例说明线圈的设计过程.对于x线圈,上下两个线圈的电流密度相等,由式(3),DSV内任意点(xi,yi,zi)处产生的磁场Z分量可表示为

　　根据磁场的对称性,在DSV内的第一象限的球面上选取M个目标场点,Bzdes,i(i=1,…,M)为其理想值,建立一个目标函数E,

　　为了使得误差平方和最小,令E对各个未知数的偏导数为零,即

　　求解上述线性方程组,可以得到电流密度中的未知系数An,将其代入式(4),即得出电流密度的表达式.

　　2　设　计

　　得到电流密度的表达式以后,采用流函数技术进行离散化.流函数是一个与流体力学中的连续性方程相联系的标量函数,最早用来将流体的速度场视觉化[9].设流体的运动速度为v,并在xoz平面内运动,此时v只有两个分量,即