自适应无网格方法在涂层弹塑性接触中的应用

　　涂层表面具有较好的抵抗外加载荷的能力和卸载后良好的弹性恢复能力，因此表面涂层广泛应用于工程领域。目前研究涂层表面接触最常用的数值方法是有限元法，Komvopoulos 等[1，2]考虑涂层表面粗糙度分析了刚性圆柱体和硬涂层的接触问题。潘新祥等[3]对多层表面膜的滑动接触问题做了弹塑性有限元分析，Jiang 等[4]分析了基体表面粗糙度对摩擦性能的影响Liu 等人[5，6]使用有限元法研究了涂层材料的特性、涂层厚度、摩擦系数等对涂层表面应力分布的影响。但由于表面涂层在接触过程中容易产生裂纹、材料非线性变形、介质渗透等问题，采用有限元求解经常出现网格畸变，使计算无法继续。

　　无网格伽辽金方法( element-free galerkin meth-od，EFGM[7]) 排点灵活，免除了定义在求解域上的网格结构，可以方便地在求解域内增加和减少结点，从而可以极大地改善局部区域内的求解精度，该数值方法已被广泛应用于工程力学的许多领域。在无网格求解接触问题方面，Xiao 等[8]采用径向基函数的无网格局部彼得罗夫-伽辽金方法( meshless localPetrov-Galerkin method，MLPG) 对二维接触问题进行了求解。Liu 等人[9]采用无网格伽辽金-有限元耦合方法与线性规划技术结合研究了二维弹塑性接触问题，并采用了加密计算区域的 h 型[10]自适应无网格伽辽金方法。

　　在涂层接触问题中，对涂层的弹塑性变形的研究相对较少。笔者运用基于应变能梯度的自适应无网格伽辽金-有限元耦合法( EFG-FE coupling meth-od) ，结合线性规划技术，对二维涂层弹塑性接触问题进行研究。对涂层表面进行自适应分析和整体加密分析，研究了基体为弹性状态，涂层进入弹塑性的接触变形。算例为铝合金涂层表面分别与圆柱体表面、粗糙表面弹塑性接触。

　　1 数值分析方法描述

　　1. 1 无网格方法

　　基于 MLS( moving least-squares) 近似函数，EFG方法位移近似的基本构造为[7]

　　式中: pi( x) 表示任意阶的基函数; m 表示基函数的项数; a( x) 表示一个特定的系数矩阵，与空间坐标 x有关。对于系数矩阵

　　由此，可以得到

　　Φk为 EFG 方法的形函数

　　Φk的导数为

　　权函数采用下面形式的幂权函数

　　式中: c 是一个控制常量，它决定了权函数的形状。

　　式中: 1 ≤ dm≤ 2 。

　　式中: SJ是 xI点与周围的邻近点构成的多边形的最小范围。当域中的结点均匀分布时，cI可以取结点间距的最大值，当域中结点是非均匀分布时，cI取包含结点 xI的积分区域的特征长度( 这里采用背景网格的边长) 。