压电桁架结构的稳定性及有限元分析方法

    1　引　言

    自1880年Jacques curie和Pierre Curie发现压电材料具有压电效应[1]以来,压电材料在智能结构系统的研究应用越来越广泛。压电效应本质上是一种机电耦合效应,它可分为正、逆压电效应两类。正压电效应是指电介质经过极化处理后,在沿一定的方向对其施加压力或拉力使之变形时,在它的表面会产生电荷。反过来,如果在压电元件表面通上电流,由于电场的作用造成压电元件的变形,这种现象称为逆压电效应。利用正压电效应,可将压电材料制成传感器,用以探测结构的力学状态;利用逆压电效应可将压电材料制成作动器,使结构产生变形或改变其应力状态。

    研究由压电材料构成的智能桁架结构的弯曲、屈曲及振动问题都具有重要的理论意义和应用背景。文[2]利用Hamilton原理,建立了压电桁架的动力分析方程;文[3]中利用虚功原理,建立了压电板的屈曲有限元方程。但是关于压电桁架在电场下的屈曲稳定性问题的研究至今未见报导,本文工作就是研究解决这一问题。

    由于压电桁架中机电耦合效应的影响,增加了结构组成的复杂性,建立精确的解析解模型很困难,工程问题主要依靠数值计算方法解决。本文考虑机电耦合效应,由结构力学基本平衡方程出发,推导了压电桁架结构稳定性分析所必需的压电耦合刚度阵以及机电耦合的内力计算公式,给出了机械荷载和电荷载联合作用下屈曲临界荷载计算的有限元方程,数值算例分析了机电耦合效应和电压对结构稳定性的影响。通过压电杆件不同配置时临界荷载的计算比较,得出了压电杆件在不同位置时结构临界荷载变化可能较大的结论,为压电主动杆件的优化配置提供了有价值的理论指导。

    2　压电材料的本构关系

    在压电弹性体中,机械效应和电效应是互相耦合、密不可分的。在忽略磁场效应和热压电效应的基础上,由热力学第一定律可导出其矩阵形式的本构方程[4](压电方程)为:

其中{σ},{ε}分别是应力和应变矢量,{E},{D}是电场强度和电位移矢量,[C]是弹性常数矩阵,[e]是压电应力系数,[Ξ]是介电常数矩阵。式(1)的第一式中[e][E]项是电场强度对应力的贡献,第二式中[e]T{ε}表明了应变对电位移的贡献,它们体现了机电耦合关系。

    压电桁架是由压电薄片沿轴向叠合而成,基本模型如图1所示。当沿叠合体厚度方向施加电压时,叠合体也产生厚度方向的变形,从而在桁架轴向形成压电等效力,由于只考虑轴向效应,(1)式中[e]和[Ξ]可简化为e₃₃和Ξ₃₃。图1中,Φ为压电薄片两端的电势差,t为压电薄片的厚度,L为压电杆的长度,N₁和N₂为两端轴向力。根据(1)式和力的平衡方程及电荷量的平衡方程可得: