线性强化材料空间杆系弹塑性分析

    1　力学模型

    考察图1所示的铰接于定点运动刚体上的空间杆系结构,设杆件总数为m,第i根杆的长度为l_i,横截面面积为A_i,其与刚体铰接点的坐标为x_i,y_i,z_i,其轴线方向的单位矢量ri与与坐标轴x,y,z正向间的夹角分别为α_i,β_i,γ_i,作用在刚体上的主动外力对3个坐标轴的力矩为Mx,My和Mz。材料的应力-应变关系如图2所示,其数学表达式为

式中　E=tgα,E′=tgβ,sgn()是符号函数,可保证应力和应变的符号一致。

    2　应变、应力与刚体角位移的关系

    设刚体由于受载而引起的绕3个坐标轴转动的角位移分别为x,y和z,则第i根杆子与刚体铰接点沿3个坐标轴方向的位移为

故第i根杆子的应变为

    ε_i=Δl_i/l_i    (4)

代入(1)式可得第i根杆子的应力表达式

进而可得第i根杆的轴力为

     N_i=σ_iA_i              (6)

    3　定点运动刚体的平衡方程

    根据定点运动刚体的平衡条件可得如下平衡方程

    这是一组关于φx,φy和φz的非线性方程组,从中求出φ_x,φ_y和φ_z,代回到(3) ~ (6)式,便可求得每根杆的应变、应力和轴力。

    4　用下降法解非线性方程组

    方程(7)可以表示为

    选用下降法求解该非线性方程组,其求解步骤如下。

    第1步　定义目标函数

    第2步　给定初值:为了提高收敛速度,选择一组合适的初值是十分重要的。假定材料是线弹性的,即认为材料的本构关系为σ= Eε,则方程组(7)将转化为如下线性方程组[1]

    由线性方程组(10)求出x,y和z便可作为求解非线性方程组(7)的一组初值。

    第3步　设已计算到第k步,得,计算对应的目标函数之值F,若F≤ξ,则即为方程组(7)满足精度要求的一组解,否则转第4步。第4步　计算F在点的偏导数

式中　,常数c通常取为10-5,而ξ一般略小于c。

    第5步　计算

然后返回第3步,重复计算,直到满足精度要求为止。

    根据以上求解过程,编制了通用解题程序,经过试算大量例题,表明作者提出的方法是可行的,不仅收敛速度快,而且计算精度也有保证。