模拟含随机分布椭圆形夹杂弹性体的边界元法

    随着科学技术的进步和现代工业的发展,大量的复合材料在工程中得到了广泛应用。复合材料宏观等效力学特性的研究成为学术界和工程界共同关注的热点问题。一般来说,复合材料可以看作在基体材料中嵌入了各种不同的夹杂相,其宏观等效力学特性主要取决于所嵌入夹杂相的尺寸、形状、性质、体积比和空间分布。许多学者采用不同的均匀化方案,以建立复合材料的宏观—微观本构模型,并提出了各种各样的解析近似求解方案[1]。

    文[2～4]采用边界元分块解法,对含随机分布圆孔的弹性体进行了大量计算,得到了宏观等效材料参数与圆孔体积比之间的关系曲线。文[5～6]提出了模拟含随机分布圆形夹杂的边界元法。在上述基础上,本文提出了模拟含随机分布椭圆形夹杂弹性体的边界元法,适用于模拟各种长纤维复合材料的等效力学特性。

    1　椭圆形夹杂的几何简化

    椭圆形夹杂的界面边界线是变曲率的二次曲线,直接对其边界线进行插值离散,弧长对自然坐标的导数dS/dξ将不再是常数:

　　于是,不仅难以对椭圆夹杂界面边界线自动分元离散,而且,由于对每一个边界单元需要求解相应的Jacobi矩阵,因此,单元网格划分越密,带来的计算量越大。另一方面,在实际的复合材料中,并不存在理想的椭圆夹杂。综合上述两个方面的因素,本文利用4段圆弧来拟合椭圆夹杂的界面边界线。

    如图1所示的椭圆夹杂,在局部坐标系x′Oy′中,椭圆的中心为原点,于是,椭圆夹杂界面边界线的参数方程可以表示为

　　在椭圆边界线上选取4个分点,把边界线分成

4段圆弧,任意2段圆弧的交界点处,要求一阶导数连续,于是,可以唯一地确定4个分点的坐标。若圆弧对应的圆心角为β1,圆弧对应的圆心角为β2,由于在点S3处一阶导数连续,于是

　　根据方程式(3)可以确定参数θ,然后,由参数方程式(2)确定各个分点的坐标,于是,唯一地确定了拟合椭圆夹杂边界线的4段圆弧。

    2　模拟含单个椭圆夹杂弹性体的边界元法

    二维弹性体内含单个椭圆弹性夹杂,如图2所示。其中,Ω₀,Ω₁分别为基体和夹杂弹性材料所占平面域,Γi为基体和夹杂的界面边界线,Γ₀是基体的外边界线,Γ₀包括给定位移边界和给定面力边界两个部分。这是一个非常普通的两子域问题,利用一般的分域解法即可进行求解。同时,这也是求解含随机分布椭圆夹杂弹性体问题的基础。