压弯构件失稳的突变理论浅析

　　0　引　言

　　突变理论是研究不连续现象的一个新兴的数学分枝,是研究非线性问题的重要手段。自从法国数学家Rene Thom创立突变理论以来,突变理论已在自然科学、社会科学、生物学和经济学等领域取得了许多应用性的成果。

　　本文应用突变理论研究两端铰支、作用有横向均布荷载q的压弯构件在轴向压力F作用下的弹性稳定问题。

　　1　尖点突变模型简述

　　尖点突变模型势函数的正则形式[1]为

　　其中u、ν是控制变量,δ是状态变量,Π关于δ取驻值的点集M称为平衡曲面,它满足方程M:

　　在u-ν-δ空间坐标系中,平衡曲面M的图形如图1所示。系统处于平衡状态时,其平衡位置必在M上。

　　当Δ>0时,方程(2)只有一个实根[2],对应于任一组控制变量(u、ν),系统只有一个平衡位置;当Δ<0时,方程(2)有3个实根[2],对应于任一组控制变量(u、ν),系统有3个平衡位置;当Δ=0时,即在分歧点集B上,方程(2)有3个实根,其中2个实根相等[2]。即控制点集(u、ν)越过分歧点集B取值时,则它必定跳跃到另一叶上,引起δ的突变。

　　2　压弯构件屈曲的尖点突变模型

　　2.1　压弯构件的势能

　　如图2a所示的压弯构件,略去轴向变形和剪切变形的影响,杆件的总势能

　　2.2　压弯构件屈曲的尖点突变模型

　　2.2.1　压弯构件屈曲的尖点突变模型

　　根据两端铰支压弯构件的几何边界条件,设屈曲模态为:

　　将式(12)代入式(16)可得到分歧点集方程[1]为

　　2.2.2　压弯构件的压溃荷载

　　(1)弹性压杆的临界荷载

　　当q=0时,由式(17)可得到α=1。所以Fcr=

    此即为两端铰支的弹性压杆临界荷载的精确值,这是因为所选取的挠度曲线就是两端铰支的弹性压杆在轴向压力作用下失稳时实际的挠曲线。

　　(2)压弯构件的压溃荷载

　　根据图1,压弯构件丧失稳定性前

　　所以,两端铰支的、作用有横向均布荷载q的压弯构件的弹性压溃荷载

　　2.2.3　压弯构件的侧向位移

　　(1)当Δ=8u3+27ν2>0时,利用代数学[2]的结论,可得到方程(14)的实根

　　此式就是压弯构件失稳后,无量纲化后的侧向位移最大值与荷载的关系表达式。

　　所以压弯构件失稳后处于不稳定的平衡状态,但平衡位置却是惟一的。

　　(2)当Δ=8u3+27ν2<0时,利用代数学[2]的结论,可得到压弯构件在3个不同平衡位置的最大侧移