用域-边界元法分析非线性地基梁

　　与有限元法相类似,边界元法也是一种分析工程实际问题的有效而通用的数值方法,在工程分析中得到广泛应用.边界元法其实是一种半解析半数值方法,它充分利用已有的解析结果(即无限空间的格林函数,或称为基本解,奇异解),把所研究问题的区域维数降低了一维,从而大大减少了模拟和分析的时间.边界元法特别适合于求解不可压缩或接近于不可压缩材料的问题,无限域或半无限域问题,流体力学、断裂力学等工程问题.

　　边界元法在求解大多数线性问题时,在域内没有未知变量,未知变量只出现在区域的边界上;但是对于求解非线性问题,未知变量不但出现在边界上,而且还出现在域内. Atluri等人[1～6]把域内配点法与边界元方法相结合,提出了一种分析非线性问题的域-边界元法,有效地求解了大量非线性固体力学问题.分析实例证明,这种方法在分析非线性问题时,未知变量比有限元法少,未知变量及其导数的精度比有限元高;而且具有收敛快,稳定性好的特点,在工程分析中得到广泛的应用.

　　本文利用域-边界元法分析非线性地基梁,计算结果表明,这种方法不但对于二维、三维问题,而且对于求解一维非线性问题也具有收敛快、稳定性好的特点.

　　1　非线性地基梁的域-边界积分方程

　　非线性地基梁的控制微分方程假定为

　　的系数,f是横向分布载荷,u是横向位移.引入无量纲变量ξ=x/l和参数

　　式中,l为梁的长度.为简单起见并不失一般性,我们假定,则式(3)变为

　　下面我们采用域-边界元法来求解无量纲非线性地基梁的控制微分方程(4).其边界条件有

　　式中,Ψ—,θ—,M—和Q—分别为边界上给定的横向挠度、转角、弯矩和剪力.

　　考虑微分方程(4)的加权残值公式

　　式中,v为加权函数.对上式中的四阶导数项分部积分四次,得

　　在无限空间中的基本解,式中δ是狄拉克函数,则方程(9)变为

　　由于边界四个未知变量Ψ(ξ),Ψ(ξ)′,Ψ′′(ξ)和Ψ′′′′(ξ)中通常要给定其中的二个,剩下二个为未知变量,现在只有一个积分方程,还须补充一个.将式(11)对η求导,得

　　方程(11)和(12)是非线性积分方程,我们必须用增量迭代法求解.假定载荷f(ξ)=λf-(ξ),式中λ为载荷增量因子.将f(ξ)的增量表达式代入式(11)和(12)中并对λ微分,得

　　式中.对于给定λ的一个值,当Ψ为已知时,则方程(13)和(14)分别为的线性积分方程,利用标准的牛顿-拉夫孙迭代方法,可以求解方程(13)和(14)中的增量位移Ψ·(η)和导数