旋转系统中弹性结构振动问题的哈密顿体系方法

　　引　言

　　在旋转结构的振动过程中,由于哥氏力和向心力的影响,使得转动结构本身固有的特征值和特征函数发生变化,有着独特频率和振型。在此类问题的研究中,Putter指出悬臂梁的固有频率与不转动时悬臂梁相应的固有频率和梁的转速成正比[1],并在振型函数的基础上构造了高精度的梁单元。Schil-hans在考虑离心力的基础上[2],使用类似的方法得出了一些表达式。Koren,Nagaraj和Pnueli采用了伽辽金法得出了类似的结果[3～5]。Dokainish对转动的悬臂板进行了有限元分析[6],Stofford考虑了剪切力、转动惯量以及轴向力和剪力的相互作用[7]。这些方法可以用来研究板的平面运动和拍运动,但不能考虑两者之间的耦合作用。上述工作都是依据某些假设,而且没有考虑结构纵向运动和横向运动之间的耦合作用。吴松林和洪善桃考虑了纵向与横向的耦合作用[8～9],得出梁横向振动的固有频率随着转速的增加而增加,而纵向振动的固有频率却只有当转速满足某些条件时才会有简谐振动。王营等从刚体动力学的角度出发[10],结合Kane方法,研究了固定梁的基础运动对梁固有频率的影响。在上述的研究工作中,其方法属于拉格朗日体系,基本是一类变量问题,也就是说以位移或广义位移为基本未知变量进行求解。这样一方面需要求解高阶微分方程,另一方面对位移和力的混合初边条件问题不能形成有效的直接方法。哈密顿体系是基于牛顿体系和拉格朗日体系发展起来并且与其成平行的力学体系,在质点系统中已发展较为成熟。在对偶体系下的对偶正则方程是以位移或广义位移和其对偶变量为基本未知变量(或混合变量)进行求解。可以注意到哈密顿体系下的哈密顿函数是动能与势能之和,也就是保持了系统的守恒性,因此在某种程度上具有一些优势。在借鉴了现代控制论的数学问题与结构力学一类问题模拟关系,钟万勰等在这个领域做了大量工作[13～14],将哈密顿体系引入到弹性力学中。从拉格朗日体系向哈密顿体系的换代,其意义在于从传统的欧几里德型的几何形态进入到了辛几何的形态之中,从而可使混合变量方法进入到应用力学的广大领域。本文将哈密顿体系引入到旋转系统中的弹性结构振动问题,在辛几何空间中研究问题,因而许多辛正交、归一及展开等数学工具就可以充分利用。用全状态空间变量概念和观点,在更高层次的平台上分析和研究问题,可形成独特的研究方法。

　　1　基本问题

　　考虑绕一定点以角速度ω→旋转的弹性结构(区域记为A)。将动坐标系固连在该结构上,选用直角坐标系oxyz,并将坐标原点取在该定点上。结构的弹性模量E,泊松比υ,密度ρ。结构中一点(不妨记为a点)变形前坐标为x→a,变形后位置向量r→a=x→a+u→a,这里u→a={u,v,w}T为位移。a点的绝对速度可以写成r→·a=ω→×(x→a+u→a)+u→·a。记q=u→a,x=x→a。结构的动能密度