求解直边简支环扇板振动特性的积分方程方法

　　1　引言

　　环扇形板结构在航空航天工程以及核工业领域有着广泛的应用。对这类结构振动特性的研究虽然已存在不少成熟的数值方法,如有限元法、有限差分法等,但为了更为方便地分析各种参数对其振动特性的影响以及进一步分析更为复杂结构的动力学特征,人们仍不断致力于对解析和半解析方法的研究。文献[1]将L2[0,a]空间的一类完备正交函数系{Jm(λmmρ)}成功地引入圆板的傅里叶级数解中,文献[2]又将其应用于环扇形板的傅里叶级数解。本文首先采用由第一、二类贝塞尔函数组成的完备正交函数系{Ru(λ(u)nρ)}[3]构造直边简支环扇形板结构的格林函数;其次运用积分方程方法[4]将微分方程边值问题转化为积分方程特征值问题;然后应用叠加原理将其转化为无穷阶矩阵的标准特征值问题,给出求解环扇形板结构振动特性的积分方程方法。本方法不仅能够很方便地得到环扇板的各阶振动特性,而且为进一步分析更为复杂结构的振动问题提供必要的条件。

　　2　分析方法

　　根据经典板理论,环扇板(如图1所示)的格林函数应满足下面的方程

　　式中D为板的弯曲刚度;G(ρ,θ,ξ;η)为环扇板的格林函数;ρ0=a/b,a、b分别为环扇板的内、外半径;(bρ,θ)为环扇板内任一点,(bξ,η)为单位集中力的位置,ρ0≤ρ,ξ≤1,0≤θ,η≤θ0;θ0为环扇形角的弧度。单位集中力的分布集度q的表达式为

　　式中分别为u阶第一、二类贝塞尔函数,λ(u)n为函数Ru(λ(u)nρ)的第n个正零点。{Ru(λ(u)n)ρ}为平方可积空间L2[ρ0,1]中的一类完备正交函数系[4],Am、Bm、Cm、Dm为由边界条件所确定的常数。

　　利用边界条件Bi[G(ρ,θ;ξ,η)]=0,(i=1,2,3,4),得所求格林函数为

　　式中-m为环扇板单位面积的质量,ω为环扇板的固有频率。

　　由叠加原理和格林函数的物理意义,上述微分方程边值问题转化为下列积分方程特征值问题

　　在方程(7)的两边分别同乘×sin(u0θ),并关于ρ和θ分别从ρ0到1和从0到θ0积分,得

　　方程(9)即为与积分方程特征值问题(6)相对应的无穷阶矩阵的标准特征值问题。与之相对应的频率方程为

　　式中I为单位矩阵。

　　在实际的计算中,根据精度的需要截取无穷阶矩阵A为有限阶方阵,求解方程(10)即可得环扇形板结构的固有频率参数ω的近似值。将所得的ω代入式(7)即可得与之相对应的振型。