含对称刚性约束振动系统的周期运动和分岔

　　间隙的作用和影响在机械系统中普遍存在。往往因间隙的存在使机械系统构件之间产生剧烈的碰撞和冲击，导致系统的动态响应变得十分复杂，而影响产品的性能、降低其使用效率，严重时导致设备失效甚至产生安全隐患。例如，轮对与钢轨之间的碰撞，加剧了高速列车的不平稳运动，影响了列车运行的稳定性与舒适度;又如在流体的诱发下，核反应堆中的冷却管道与其支座、燃料棒与反应堆壳体，可能发生反复的相互冲击，给系统的安全造成威胁。因此，减小含间隙机械系统部件之间的碰撞、冲击与磨耗，提高含间隙机械系统的使用效率、寿命及安全性，是机械工程领域亟待解决的一个重要课题。近年来，国内外学者研究了含间隙振动系统的稳定性与分岔[1~4]、奇异性[5~8]、概周期碰撞运动[9~12]、余维二分岔[13,14]及混沌控制[15]等问题。随着振动冲击动力学理论研究的日益深入，对含间隙机械系统及冲击振动系统的应用研究也已迅速开展[16~22]。本文选取了两类含对称刚性约束振动系统作为分析对象。其中，一个系统的振动质块与自由刚体相互碰撞，另一振动系统的质块与固定刚性约束碰撞。研究了两类含对称刚性约束振动系统的周期运动和分岔，讨论了间隙值和激振频率对两类碰撞振动系统对称碰撞周期运动的稳定性和分岔的影响，分析了对称碰撞周期运动的分岔规律。对于较大的间隙值，激振频率的递减通常导致对称碰撞周期运动首先发生 Neimark-Sacker 分岔;对于较小的间隙值，激振频率的递减通常导致对称碰撞周期运动发生叉式分岔。研究了单周期对称碰撞运动、单周期反对称碰撞运动、单周期 4-碰撞运动、倍周期 4-碰撞运动和倍周期 6-碰撞运动的Neimark-Sacker 分岔。研究结果表明间隙值和激振频率的变化可能导致含对称刚性约束振动系统呈现复杂且形式多样的概周期碰撞运动。

　　1 力学模型

　　图 1 为两类含对称刚性约束振动系统的力学模型图，其中，图 1(a)是一个冲击消振器的力学模型，图 1(b)为一两自由度含间隙振动系统的力学模型。这里先分析间隙值和激振频率的变化对冲击消振器对称碰撞周期运动的稳定性和分岔的影响，揭示其对称碰撞周期运动的分岔规律。图 1(a)中，质量为1M 的振子分别由刚度为 K 的线性弹簧和阻尼系数为C 的线性阻尼器联接于支承，并受简谐激振力P sin( T+τ)的作用。小球2M 在振子槽中做水平方向的运动。取振子中心位置为坐标原点。当小球与振子的相对位移为 D(或 D)时，小球与振子挡板发生相互碰撞，改变速度方向后，又以新的初值运动，然后再次碰撞，如此反复。