等截面曲梁的传递函数方法

　　轴线为曲线的杆件, 称为曲杆或曲梁, 在工程中的运用非常广泛, 对其力学性能的研究也就有着重要的意义。传递函数方法是近些年来发展起来的面向分布参数系统的一般性方法, 它有着精度高、适用面广、系统化程度高, 便于计算机处理等优势, 因此,这种方法在各种领域, 例如在圆锥壳、平板弯曲和瞬态响应等问题的研究中取得了很好的效果。然而从文献资料看, 利用传递函数方法对曲梁进行计算和研究还未见尝试。本文基于曲梁的变形方程, 建立曲梁系统的传递函数求解模型, 再仿照有限元基本方法, 得到曲梁系统的平衡方程, 从而计算出各截面的变形和内力。

　　1 曲梁的变形方程

　　建立曲梁坐标系: s轴沿曲梁的轴线, y轴为横截面的对称轴, z轴通过横截面形心并垂直于s轴和y轴。qy和qs表示沿y轴和s轴的载荷集度, 它们都是坐标s的函数。

　　用N、M、Q分别代表横截面的轴力、弯矩和剪力, 取ds微段, ρ代表曲梁轴线的曲率半径。在小变形的情况下, 曲梁的平衡方程为：

　　曲梁变形后挠曲线的微分方程为:

　　高为h的矩形截面曲梁, 4h≤ρ时, J就非常接近I, 其误差不到1%。

　　2 曲梁系统的传递函数解

　　建立曲梁系统, 其弧坐标为s∈[- a, a], 对于一般曲梁ρ是弧坐标s的函数。将曲梁挠曲线微分方程

　　(5)对弧坐标求导得到:

　　将上两式改写成含参数 (包括轴力N和弯矩M,均可由外力求出)的状态空间形式的方程:

其边界条件为:

　　一般在实际问题中, qs的分布对总体产生的影响较小, 可以利用等效方法将qs处理为节点集中力,即取qs=0。

　　则有:

　　边界条件中的各向量和矩阵的定义与系统端点约束情况有关, 通常向量r表示成两端未知位移向量:

　　上式中的图(s, s0) 为(8) 式中F(s) 的状态转移矩阵,由于F(s) 是变量, 状态转移矩阵可用数值方法得其近似值:

　　计算取值点si∈[s0, s], 而且a1+a2+ an=s- s0。计算状态转移矩阵　　(s, s0) 近似值的数值方法一般可采用平方和法、龙格- 库塔法等方法。

　　应力向量为:

　　3 系统的平衡与求解

　　采用有限元方法, 由方程(10) 和(13) 式可推出曲梁系统的平衡方程:

　　ke和ve分别是系统刚度矩阵、系统节点等效载荷向量, 它们由下式得出:

　　se是与广义节点位移相对应的系统广义集中外力向量。

　　引入边界约束条件, 对边界条件的处理方式与有限元相同, 利用曲梁系统的平衡方程可得系统所有节点的位移, 将相应节点位移代入(10) 式即可求得任意点的位移, 代入(13) 式则得到任意截面的内力。