可展桁架结构展开过程分析

    1　引　言

    折叠结构具有悠久的历史,并日渐广泛地应用于大型星载天线、太阳帆板和空间站等航天领域。展开过程分析是大型可展航天结构研究的重要内容,它分析结构从收纳状态运动至完全展开状态过程的力学特性,从而指导可展结构的设计和优化及施工控制。展开过程分析主要借助多刚体动力学多年的研究成果[1],但和普通多刚体系统动力学问题相比较,展开过程的动力学分析有不少独特之处:构架式可展结构的结构单元为杆件和索单元,其单元能量易于用单元节点坐标表示;结构的约束均为完整约束,结构的约束方程易于计算程序表示:有较多的结构约束和很少的可动自由度。本文基于含多余广义坐标的动力学普遍方程,利用约束雅可比矩阵的零空间基引入一组准速率,得到独立的展开过程分析的动力学微分方程。数值稳定是多刚体动力学和展开过程研究的重要内容,Baumgarte等曾对多刚体动力学约束扰动的数值稳定进行研究[2~4],但这些算法需要选取合适的修正参数,且不能保证所有的约束扰动收敛。本文提出了一种有效的约束方程数值稳定算法,很好的解决了展开过程数值分析位置违约和速度违约问题。文中给出的算例说明了本文所推导的动力学微分方程的正确性和约束稳定算法的有效性。

    2　可展桁架结构的几何约束方程及其雅可比矩阵

　　研究一普通的较接杆系,设结构共有p个节点和b根杆件,图1所示为结构的第m根杆件,构件的位置约束方程可以表示为

其中X为笛卡儿节点坐标,是和所选取的广义坐标相关的函数。l_m0是第m根杆件变形前的长度,I为3×3单位矩阵。假设结构具有c个边界运动约束,则可以得到c个约束方程

    φ_i(X) =0　　i = b+1,…,b+ c           (2)

几何约束方程的雅可比矩阵可以记作

几何约束方程对时间求一次导数可以得到速度约束方程,求二次导数可以得到加速度约束方程。

分析可展结构展开过程的首要问题是分析系统的约束雅可比矩阵。对雅可比矩阵A作奇异值分解,并记为

式中U和V是正交阵,∑为对角阵,且∑r =diag(λ₁,λ₂,…λ_r)为矩阵A的奇异值,r为矩阵秩,λ₁,λ₂,…λ_r是A^TA矩阵或AA^T的非零特征值的平方根。由式(6)容易求得雅可比矩阵的Moore-Penrose广义逆

若定义可动机构数m =3p-r,当r <3p,存在非零矢量V₂满足

    AV₂=0        (8)

约束方程雅可比矩阵的零空间V₂是3p×m矩阵,它的每一列向量对应着一种可能的刚体运动趋势。若m =1,说明结构只有一种运动趋势;若m >1,m个解向量的线性组合构成了全部的可能刚体运动;若m =0,零空间只有零元素,即方程无非零解,结构几何不变。