内参型非协调元收敛条件的改进

　　记内参型非协调元的单元总位移及总应变为:

　　其中协调位移、应变与非协调位移、应变分别为

式中L为应变微分算子,q为单元结点位移,K为单元附加内参,K在单元级将被凝聚。

　　内参型非协调元可建立在以下的离散型结构势能泛函基础上:

  （3）

式中F、P-分别为单元体积力与边界外力,D为弹性矩阵。按习惯做法,在各类非协调元以及杂交元的实际应用中都采用了以下“外力在非协调位移上不做功”的约定;

　　由结构总势能的驻值条件并注意到在Su上有Duq= 0,对式(5)进行变分运算得:

式中:σ=DLu,T=nσ,n为单元边界外法矢方向余弦。

　　若单元非协调位移uK满足约束:

　　则驻值条件式(6)将得出如下欧拉方程和自然边界条件:

　　为保证数值解收敛,约束条件(7)是必需的[1]。在网格无限细分情况下考察单元收敛性,此时各单元应力趋于常量σc,于是式(7)成为:

　　由于σc、δλ是完全任意的,因而上式给出了大家熟知的内参型非协调元单个元形式的收敛条件[2]:

　　这里要讨论的第一个问题是:“对于内参型非协调元,不断增加K数目,即扩大非协调位移场空间,能否不断改善单元品质,得到更好的计算精度?”从已发表的各类内参型非协调元的计算结果看,只要不增加单元结点自由度,则各类单元的计算精度都相差无几,滞留在某一水平,并不能如所希望的那样获得本质上的进一步改善。作者的研究[3]表明,有效的非协调位移自由度只有ne=nq-nr-nc个,这里nq、nr、nc分别为单元结点自由度数、单元刚体位移数与常应变数,过多地增加K数并不能从本质上改善单元品质。为进一步追究其原因,我们来考察一下内参型非协调元的能量特性。将式(5)重新写成:

式中:

　　由于G、R仅与单元应变能有关,于是可见,由结构总势能条件凝聚内参K的实质仅是“单元应变能驻值条件”,这本质的局限必然严重阻碍内参型非协调单元品质的改善。要进一步改善单元品质,就应当放弃惯用的式(4)约定,这就产生第二个需要研究的问题:

　　“放弃约定(4),非协调元的收敛性是否会遭到破坏?”

　　重新回到无强制约定的泛函式(3),仍使用收敛条件式(10),此时发现根据泛函式(3)建立起来的单元模型的数值实验不能通过分片检验。这一结果显示,采用约定式(4)并非如通常所认为的那样仅是一个简化等效结点荷载计算的措施,而是一个与约束条件(10)相配套的必要条件!于是出现了第三个问题:

　　“放弃约定式(4),正确的收敛条件是什么?”