弯曲中的静不定问题

　　在工程实际中,有时为了提高构件的强度、刚度和加工精度,往往要增加构件的约束,这样就产生了多余约束,使系统由静定状态转变静不定状态。由于静不定系统的未知力的数量多余静定平衡方程的数量,因而一般的静定基本方程不能解决由于多余约束产生的静不定问题。

    为了求出全部未知力,除静力平衡方程外,还须寻求补充方程,且补充方程的数目多于约束力的数目。补充方程的建立要依据结构的变形几何条件,即变形协调条件。

　　可以证实,在计算支承于两端的梁的实践中,通常假定两支座之一为可动铰的合理性。但对于铰链允许自由运动这一特殊规定,现仅用于跨度大的如桥梁的情形中。

　　通过一端固定和另一端简支的梁,来说利用变形协调方程,将静不定问题转化成静定问题求解。如图a中,在A端有三个未知反力因素PAx、PAy和MA,而在另一端有一个RBy,因此,这是具有一个多余约束的静不定问题。在横向载荷P的作用下,梁产生弯曲变形,如果把阻止左端A转动的约束力偶MA作为多余约束,假想移去这一约束,则梁仅有RAχ,Ray和RBy三个未知反力,系统是静定的,得到这种情况下的弯矩图(图b),梁的弯曲情况亦反映在弯矩图中。

　　如果按照同样的方法,移去载何P,在单独由静不定力偶MA作用下则产生另一种情况的弯矩图(图c),梁的弯曲情况亦可反映在弯矩图中。

　　显然,将两种假设情况组合起来,便能得如图d所示的梁的弯矩情况,实际情况是A端的转角为零,即

　　此式所表述的含义为力p在梁右端产生的转角θ1,将被多余约束力偶MA产生的转角相抵消,固定端的斜率为零这一条件,只须调整支座A力偶MA的大小,便能得到满足。

　　θ1和θ1′的值,可以通过各种方法,很方便的得到:

　　通过组合弯矩图d,可以看出,最大弯矩不在a截面就在d截面,在上述讨论过程中,变形协调条件:θ1+θ1′=0,是解决问题的关键,如果基本静定系的选择采用不同的方法,如将B端的铰支座改为一集中载荷,变形协调条件则为:θB=0,计算结果与上述结果是一致的。

　　这一方法有在求梁任一点的挠度,即由载荷P在该点产生的挠度减去力偶MA产生的挠度,则该点的实际挠度很容易得到。

　　取图e所示的情形,求解中点c的挠度δc

　　梁左端有三个未知力,移去多余的约束MA,单独在均布载荷q的作用下,有C点的挠度。

　　结合(5)和(6),得跨度中点c的挠度

　　上述原理适用于(1)变形的前提下,当梁上同时作用几个载荷时,各个载荷所引起的内力是各自独立的,并不互相影响,这时,各个载[徐佳林1]荷与它所引起的内力成线性关系,叠加各个载荷单独作用时的内力,就得到这些载荷共同作用的内力。