体元弹性稳定性方程的一种推导方法

　　1 体元的稳定性方程

　　将体元的稳定问题分成两个状态来考虑,第一个是基本平衡状态I,在研究是否稳定时使之偏离状态I,而达到新的平衡状态,这时必定产生附加的状态II,限制在线性理论范围内也就认为新的平衡状态是非常接近基本状态的,亦即附加状态II是对基本状态的一个微小偏离。在参数上面加一横杠表示I状态的量。

　　壳体表面可以分为两部分,在S1部分,边界条件是用外力来给定的;而S2部分,边界条件是用位移来给定的。显然:

　　设:I状态的应力、应变、位移、体力、面力分别为:

　　II状态的应力、应变、位移、体力、面力分别为:

　　其中:是发生屈曲时应力、应变、位移、体力、面力的微小增量。

　　在S₂上,uⁱ=0

　　假定微体在S₁表面上作用有表面力,且内部存在体力,在S₂给定的几何边界条件下,微体处于临界状态。对体元施加一无限小的虚位移Dui,这时可以写出Ò状态的虚功原理为:

　　将式(3)代入式(2)中,且考虑到δuj=0 (因为这里施加的虚位移是δuj)得:

　　考虑到式(4)中

　　a) I状态是平衡的,即:

　　b) 因为是比其它量更高阶的小量,略去。

　　c) 我们可以在基本变形发生以后才建立坐标系来消去基本变形αj|k.

　　式(4)简化为:

　　由三维分部积分公式:

式中:v —三维区域;

　　s—表面;

　　n—外法线单位矢量;

　　^...—哈密顿算子。

　　可以将式(8)化为:

　　式中:nk是n在k方向的方向余弦;k =1,2,3考虑:在S2上Dui=0 ,式(9)化为:

　　2 讨 论

这两个方程恰恰代表了两个问题:强度问题和稳定问题。强度问题和稳定问题是两个不同的概念。前者是指结构或构件在稳定平衡状态下由载荷所引起的最大应力是否超过材料的极限强度,因此是一个应力问题。后者主要是要找出外载荷与结构内部抵抗力之间的不稳定平衡状态,即变形开始急剧增长的状态,从而设法避免进入该状态,因此,它是一个变形问题。强度问题和稳定问题,对几何线性的解释也有本质的区别。前者的线性分析是建立在两个基础上的:应变是位移的线性函数;以变形前的微体作为计算模型。而后者的线性理论仍然假定应变是位移的线性函数,但确是以变形后的微体作为计算模型, ,它只研究一种状态,它与虎克定律、几何方程及恰当的边界条件一起有唯一解。

　　微体的稳定方程,并不是简单地将代替微体平衡方程中的σ^ij而得来的。研究稳定时考虑了微体元素的变形,因而的作用方向稍微有所不同。它们的差与变形的差成正比,也就跟屈曲位移uk成正比。因而,产生了(σ^ij+σ^ij)uk,忽略σ^ijuk这两个无限小量的积,得到σ^ijuk,这类项是所有弹性屈曲问题所特有的。因为它们是应力和位移的乘积,所以形式上是非线性的,但是就屈曲状态的参数而言,临界状态是确定不变的状态,故稳定方程中的未知量是σ^ij与uk,而σ^ij是关于这些变量的系数,故方程是线性的,而且方程中无常数项,故是齐次方程式(对于重力而言,Xⁱ=0 ;对于其它体力Xⁱ是uⁱ的函数)。叠加原理仍然适用。当该方程与物理方程几何方程联立,有非平凡解时,结构就处于临界状态,这就提出了一个特征值问题,这个特征值隐藏在屈曲前的应力σ^ij之中。