结构构件时程动力响应分析的半解析DQ法

　　0　引　言

　　结构物在突加荷载或冲击荷载的作用下,其瞬态历程的分析显得非常重要。目前,对复杂结构的时域动力响应的分析,主要有两种途径:一类是空间坐标不离散,对时间坐标进行Fourier变换在频域上求解,然后通过Fourier逆变换转化成时域动力响应;另一类是空间坐标采用有限元或差分法离散转化成典型的动力方程,然后对时间进行逐步积分。前一类方法虽然是一种完全的解析方法,但是,如何处理在Fourier逆变换过程中碰到的奇异积分点并非易事。后一类方法的关键是对时间积分方法的采用,而传统的显式积分和隐式积分方法在做瞬态历程的分析时,其缺点是时间步长取得太小影响计算的速度,时间步长取得大了不能反映高频成分。不过精细积分方法的出现[1-3],这种逐步积分法的缺陷已得到克服。

　　DQ法(Differential Quadrature method)当初作为解决微分方程的初值和边值问题的一种方法[4,5],至今已取得较大的发展和应用,其优点正如文献[6]所说,与传统的数值方法相比,DQ法具有计算精度和计算效率两方面的优势。然而,在动力响应的求解方面,已有的DQ法都集中在自由振动研究[7-9],时域响应上的应用则鲜有所见。本文以简单结构构件为对象,结合精细积分方法,提出一种半解析的DQ方法求解时域动力响应。

　　1　杆的纵向动力响应DQ离散方程

　　取如图1所示的杆模型进行分析,力的作用点为坐标原点,杆的截面积、体密度、杨氏模量和长度分别为A、ρ、E和l,则动力方程如下:

　　方程(1b)—(3b)为了书写方便,省略了符号~。

　　对方程(1b)—(3b)的空间坐标x进行DQ离散得

　　其中,N为离散点的个数分别为一阶和二阶微分的权系数。方程(5)改写如下:

　　2　梁的横向动力响应DQ离散方程

　　如图2所示的简支梁,取荷载作用点为坐标原点,考虑Euler_Bernoulli梁,其截面积、体密度、杨氏模量、转动惯量和长度分别为A、ρ、E、I和l,则动力方程如下:

　　方程(9b)至(12b)为了书写方便,省略了符号~。

　　对方程(9b)—(12b)空间坐标进行DQ离散得

　　从方程(8)和(19)可知,杆和梁的DQ离散的动力方程具有相同的形式。在动力方程中引入向量

　　v=(19)改写为

　　4　算　　例

　　为了验证本文半解析DQ法的有效性,分别对杆和梁给出1个算例与解析解进行比较。方程(1b)在条件(2b)和(3b)下的解析解为

　　选外荷载为Heaviside函数,如图3所示,杆取t0=0.5,梁取t0=2。杆和梁的DQ离散点等间距布置,杆的离散点数为N=8,梁为N=6;梁的参数r =0.08。DQ离散点权系数采用文献[11]给出的形式,即一阶非对角元素