工程结构几何非线性有限元研究述评

　　1　研究意义

　　在线性弹性问题的计算中,通常假定物体所发生的位移远小于物体自身的几何尺度,同时材料的应变远小于1[1]。在此假定下,建立的物体或微元体的平衡条件可以不考虑物体的位置和形状(简称位形)改变的影响,直接用结构变形前的形状来代替变形后的形状。

　　然而在实际工程结构中,往往会遇到很多不符合小变形假定的情况,比如一些薄壁结构在一定荷载作用下,虽然应变很小,但刚体位移较大,这时平衡条件就不能建立在变形前的初始位形上,而应如实的建立在变形后的真实位形上,以此来考虑变形对平衡的影响;同时原有的以小变形为基础的Cauchy应变表达式也不再适用,需要定义新的含有位移的二次项应变表达式。由此可见,平衡方程和几何方程也必将是非线性的,这种由大位移和大转动引起的非线性问题称为几何非线性。在这类问题中,根据材料的实际情况,可以认为材料是线性的也可以认为是非线性的。若同时考虑几何非线性和材料非线性就成为双重非线性。

　　2　几何非线性有限元分析的一般过程

　　在固体力学的研究中,几何非线性研究通常采用Total Lagrange方法和Updated Lagrange方法。两者的区别在于考虑大位移效应的方法不同,TotalLagrange方法体现在大位移刚度矩阵上,而Updated Lagrange方法以不断更新的物质坐标系来体现大位移对刚度的影响[2]。但从本质上讲两种方法是一致的,都是以已知构形为参照的Lagrange描述方法。下面用虚位移原理推导几何非线性有限元分析的一般过程。

　　首先根据虚位移原理,简单来讲,就是外力虚功等于内力虚功:

　　其中, {ψ}表示每个结点广义内力和广义外力矢量的和; {dδ}为虚位移; {dε}为虚应变; {P}为荷载列阵, {σ}为{P}荷载作用下的结构应力。

　　增量形式的位移应变关系为{dε}=[B]{dε},代入式(1)并且消去{dδ}T,得到几何非线性的平衡方程:

　　其中,几何矩阵[B]是{δ}的函数, [B]=[B0]+[BL], [B0]为线性几何矩阵,对应于应变分量中的线性项,与{δ}无关; [BL]为非线性几何矩阵,对应于应变分量中的非线性项,通常[BL]是{δ}的线性函数。

　　若仅考虑几何非线性,而不考虑材料非线性问题,仍然可以采用线弹性的本构方程,写成增量形式有:

　　对式(2)中的δ微分,得到:

　　其中,因为[B0]对应于应变分量中的线性项,与{δ}无关,所以[dB]=[dBL],代入上式可得:

　　令

　　其中, [Kσ]为关于应力{σ}的对称矩阵,称为初应力矩阵或几何刚度矩阵; [K0]为小位移的线性刚度矩阵; [KL]为初始位移矩阵或大位移矩阵。