复合材料层合梁的横向剪应力分析

　　0　引言

　　对于复合材料层合梁, Pagano[1]从三维线性弹性理论出发研究和导出了复合材料层合梁在特殊载荷作用下的三维弹性解.数值结果表明对跨厚比为10左右的层合梁,由经典的层合梁理论所求出的挠度和横向剪应力(对平衡方程进行积分求得)与三维弹性解均有很大的误差.采用全局形式的位移场模型(一阶或高阶理论),由应力—应变关系所计算出的横向剪应力不满足层与层间的连续性条件,一般常用的办法是通过对平衡方程进行积分来求得.对于层数较多的情况,此方法使用时是相当麻烦的.文[2,3]采用部分杂交元法和[4]基于分层位移场模型处理了层合梁的问题,所获得的横向剪应力是十分满意的,但存在着随着层数的增加未知量迅速增大的问题.而且在[4]中横向剪应力的计算仍是采用对平衡方程进行积分的方法.基于双重迭加方法(Double Superposition Hypothesis)的优点(位移场模型的未知量不随层数而变化,横向剪应力直接从本构关系求得)[5,6],本文根据[5]的结果,简化得到了层合梁的位移场模型以及相应的位移形式的平衡方程.对于简支层合梁受一般载荷作用下的问题,通过级数展开简化成求解其代数方程组的问题.所得计算结果与相应问题的三维弹性解[1]进行了详细的比较,其结果非常满意.

　　1　层合梁的位移场和平衡方程

　　考虑具有n层的复合材料层合梁,据[5](令v≡0,w≡w0(x))可得第k层的位移场为

　　为了便于公式的推导在(1.1)中已令u4=u11.对于层合梁受一般载荷的情况,如图1所示.由虚功原理并通过分部积分处理,可以获得关于u0,u1,u2,u3,u4,的平衡方程为

　　2　算例和计算结果

　　考虑简支的复合材料层合梁,即边界条件为

　　x= 0,l时:w0= 0,p1= 0,p2= 0.

　　该层合梁为正交铺设,材料弹性参数为[1]

　　EL= 174.6 GPa,ET= 7 GPa,GLT= 3.5 GPa,GTT= 1.4 GPa,νLT=νTT= 0.25,

　　其中:L和T指沿着纤维的纵向和横向;梁的长度和厚度分别为l和h.

　　原则上对上述边值问题可以处理任意的载荷情况q(x),但这里仅考虑两种特殊载荷情况,而层合梁的层数分为从3层到11层等不同的情况.每种情况的最下层的铺设为0°(对应的是x轴为纵向纤维方向),对3层和非对称铺层(偶数层),每层的厚度相同,而对其他对称铺层(奇数层),铺层的厚度与文[7]的规定一致.

　　2.1　简支层合梁受正弦载荷情况

　　对于这种情况,q=q0sinπx/l(q0为常数),此时可令

　　(Analytic Solutions)是十分吻合的,即使对短厚梁S= 4的情况也是如此;对11层的情况,本文所得的无量纲横向剪应力与Pagano的三维弹性解(Exact Solutions)[1]相比其误差为3%;对非对称铺层的情况(4层),其误差为5%.从表1～5还可以看出,不论是对称铺层还是非对称铺层的情况,对不同的跨厚比,本文所得的无量纲中心处的挠度(也是最大挠度)与三维弹性解是十分吻合的,其误差不到1%,这表明本文的方法在预测全局响应方面是非常精确的.