矩形板在复杂荷载下静力分析的加权残值法

    0　前　言

    在工程计算中,常常遇到集中荷载与均布荷载共同作用于板上的计算模型,如桥梁行车道板,由于现在桥梁结构向多样化发展,使得行车道板计算中双向板的计算模型也屡见不鲜。但是由于车轮荷载个数的任意性,作用点的不规则性,使计算非常复杂。类似的计算模型如有重型机械作用的工业厂房楼面板、高速公路水泥混凝土路面板等,均由于集中荷载的作用使计算非常困难。过去人们曾采用多种逼近解法对此类计算模型求解,但均有很大的局限性,特别是对多个集中荷载作用于板上不同位置时的求解显得更加困难。本文采用加权残值法和δ函数相结合来求解矩形板,较好地解决了集中荷载大小、个数、作用位置任意的问题。此法还可广泛应用于求解其他相似结构、相似荷载作用下板的内力。文中以四边固支的矩形板为例来求解。

    1　计算模型

    复杂荷载下板的计算模型可表示如图1:

     图中　a、b:板的长、宽

    qi:均布荷载

    Pi:作用于板上任意位置(xi,yi)的集中荷载。

现在用δ函数对集中荷载进行处理,如图2.

    假设板上任意一点(xi,yi)作用集中荷载Pi,用δ函数将其分散化,如图2:

有

    qi(x,y)=Piδ(x,xi)δ(y,yi)

    当x≠xi,y≠yi时,qi(x,y)=0

    当x=xi,y≠yi时,qi(x,y)=0

    当x≠xi,y=yi时,qi(x,y)=0

均符合事实。

    只有当x=xi,y=yi时,qi(x,y)≠0,说明该点有集中荷载作用,整个板面上qi(x,y)的合力为Pi

说明集中荷载处理正确。

将处理后的n个集中荷载与均布荷载迭加,得板所受的全部荷载集度。

    2　板的求解

    由薄板的基本微分方程

用加权残值法[1]求解,

    令解:作一个试函数。首先取一项,即

    W =ξ₁x²(a- x)²y²(b-y)²           (3)

显然,(3)式满足全部边界条件,因而不存在边界残值,仅有域内残值。

    将(1)、(3)代入(2),得域内残值

作一个最小二乘泛函,寻求一个ξ1,使L(W)最大限度接近于零。有

将(7)式求得的值代入(3),即可求得板上任一点的挠度。

    现在我们来看一个简例。

    A　考虑仅有均布荷载作用的情况

    此时,Pi=0,设a=b.将这些值代入(7),得

与铁木辛柯的理论值[2]相比,其误差约为5%.

    B　考虑仅有一个集中荷载P作用于跨中的情况

    此时,q₀=0,同样设a=b

    解得板的跨中挠度为

与铁木辛柯的理论值[2]相比,其误差约为23%.可见,后者误差较大。