被动隔振体的非线性振动分析

　　0　前言

　　为了降低地基振动的不良影响,以保证其正常工作,对生产现场的精密仪器和设备通常需要采取被动隔振措施。典型的隔振材料(如橡胶、空气等)具有显著的硬弹簧特征,即具有明显的硬非线性[1~3]。在工程实际中进行隔振设计和隔振效果分析时,为了降低理论难度和减少分析计算工作量,这一客观存在的非线性特征通常被不适当地忽略了,从而不可避免地使设计和分析结果出现误差。

　　本文用变形的立方多项式函数描述隔振材料的非线性刚度,建立了被动隔振体的非线性动力学模型,用谐波平衡法导出了其频率响应方程,通过数值积分研究了其非线性动力响应特性,得出了幅频曲线。分析与计算结果表明,忽略客观存在的隔振材料刚度的非线性将会使隔振设计和隔振效果分析产生显著误差,当非线性较强时,甚至导致完全失败。本文的分析方法和结论对于精确进行计及隔振材料刚度非线性的被动隔振设计和隔振效果评价具有积极意义。

　　1　被动隔振的非线性动力学方程

　　如图1所示,设被动隔振体的质量为m;地基振动为y=Asinωt;隔振材料的粘性阻尼系数为c;根据Stone-Weierstrass理论,所有单变量多项式的集合在所有定义在某区间上的连续函数的集合内是稠的,即人们总可以用一个恰当的多项式逼近一个非线性连续函数,故不失一般性,对应于隔振材料非线性刚度的非线性弹性力可用位移的三次多项式函数表示[2,4~6],记一次项系数为k,三次项系数为β(因为一般隔振材料的刚度具有渐硬特性,故有β>0);以静平衡位置为坐标原点,被隔振体的位移用x表示;设弹簧无变形时被隔振体的位移为x0,x0

　　在式(1)中,令α=0,即忽略隔振材料刚度的非线性部分,可得

　　此即工程实际中常用的线性化的被动隔振动力学方程。

　　2　隔振体响应的分析求解

　　式(1)描述的是多参数激励和强迫激励共存的非线性动力学系统,其中α值的大小表示非线性的强弱。计及隔振材料刚度非线性的被动隔振设计与隔振效果分析依赖于对方程式(1)的有效求解。然而,对于形如式(1)的有多个变系数且存在外激励的非线性微分方程,目前还不能求得其严格精确的分析解。以下针对工程实际中隔振设计的需要,用谐波平衡法求式(1)的近似稳态周期解,导出其频率响应方程。

　　在弱非线性(α 1)条件下,对式(1)中参数取不同值的许多情形进行大量数值积分,求得稳态响应并作傅里叶变换,结果表明,式(1)具有稳定的与地基激励等周期的稳态周期解,且不论-ω为何值,响应的基频幅值远远大于其他频率处的幅值,故可设其稳态周期解的形式为