板状梁结构流致振动及其稳定性

    0　引言

    薄板(小间隙)叠层结构在反应堆燃料元件结构一体化设计及相关工程中有着极大的应用价值。由于这种结构的特殊性和复杂性,其流场非常复杂,给结构的流固耦合动力分析带来了极大的困难。

    目前,在粘性流体诱发结构振动的研究方面多限于柱状结构[1—4]。研究结果表明在非线性支承下,结构存在着分岔、混沌等复杂的动力学行为。而以板状结构作为对象的研究工作还不多见。文献[5]经过理论计算和实验验证,指出“在分析叠层板型元件的振动特性时,可以采用梁的力学模型”。

    对于具有非线性支承条件的板状结构在流体动压力作用下的振动情况,目前探讨的很少。一般而言,工程结构或多或少都存在一定的非线性,因此有必要对此做深入的研究。

    1　模型的建立

    本文所用模型为一个置于刚性矩形管内的单层简支板状梁,如图1(a)所示,流体从A端流入, D端流出,进入流道前其平均流速为U0,假设板的宽向刚性,梁只在xoz平面内振动,流体为沿x和z方向流动的二维不可压缩粘性流。图中a1, a2分别称流道(或称为间隙) 1和流道2。图1 (b)为图1 (a)的截面图,图1 (c)为梁的支承情况(设简支梁右端为非线性弹性支承)。

    2　运动微分方程的建立

    要想求解此类问题,必须首先求得作用于板上流体动压力的表达式。在二维不可压缩粘性流假设下,文献[6]把流体看成是Poiseuille流,给出了流体动压力的一次谐波近似解析表达式

    在上式中, h=h (x, t)为板中性层的垂向位移, EI为弹性刚度, m为板单位长度的质量,δ为δ函数, c0为阻尼系数, f (h)为梁右端点的弹性约束反力,本文考虑的立方型非线性可表示为

　　　f (h)=K₀h+K₁h³           (3)

    K₀为弹簧的线弹性系数, K1为弹簧的非线性弹性系数。

    (2)式为偏微分方程形式,为便于对其进行求解,需将其化为常微分方程形式。为此,采用(2)式相应的线性系统,即模型右端为线性支承且无流体时的结构形函数对(2)式进行离散化处理。此线性系统的形函数为

    其中: Di为常量, b=[cos(kiL)+ ch(kiL)] / [sin(kiL)+ sh(kiL)], ki为下式所示频率方程的根

　　　a (coskL·shkL-sinkL·chkL)-(kL)³(1+coskL·chkL)=0

　　　a=K₀L³/ (EI)           (5)

    当K₀=0即a=0时, (5)式变为:1+cos(kL)ch(kL)=0,正好是悬臂梁的频率方程。运用Galerkin方法将方程(2)离散化,即假设

    设(15)式的平衡点为(q10, q20),易求得三个平衡点分别为: (0,0),。下面利用常微分方程的运动稳定性理论分别对其进行分析。