特殊型式梁的子结构建模方法

　　图1为某工程横梁刚架,由10根横梁和6根立柱组成,每根横梁开有两个用于安装附件的圆孔。建立该刚架有限元模型时,由于标准梁单元具有相同或相似的截面形状,因此不能直接离散这类带孔横梁。通常的办法是用平面单元离散,但因圆孔尺寸相对刚架总体尺寸很小,在保证圆孔附近应力计算精度的要求下,整个模型单元太多,致使网格划分和计算都非常困难。为此,本文提出了利用子结构法构造特殊梁单元,可使这类刚架的建模和计算大为简化。

　　1子结构划分

　　子结构是人为分割复杂结构得到的相对简单的结构。将图1中的横梁分割出来,可形成1。个形状和尺寸完全相同的重复子结构,如图2a所示。由于该子结构形状简单,故不再作二次分割。子结构网格划分如图2b所示,其中考虑了圆孔附近的应力集中和子结构的对称性。

　　2内部自由度凝聚

　　计算图2b中的有限元模型,可得子结构刚度方程为

式中为子结构总刚矩阵,m为单元总数;为子结构节点载荷列阵;为所有节点自由度组成的节点位移列阵。上标s表示子结构,为书写方便,以下省略s。在上述分析中运用了运动自由度消除刚体运动。

　　将子结构的所有自由度分为边界自由度和内部自由度。与外界有位移协调关系或施加载荷、位移约束的自由度选为边界自由度,其余自由度作为内部自由度。由于梁的两端将与其他结构连接,故将端部节点1一14的自由度作为边界自由度。将{q}按边界自由度和内部自由度重新排列成如下形式

式中B为边界自由度;I为内部自由度。同样,将矩阵(K)、{R}作相应组合,则式(1)变为

　　将上式代人式(3),整理后可得

式中为边界刚度矩阵倒称陶;为边界节点力列阵,其中第一项是边界自由度上本身的节点力,第二项是内部自由度上的载荷分配到边界自由度上的节点力。

　　式(5)是凝聚掉内部自由度后形成的子结构缩减模型,形状如图3所示,其阶数仅为28,而式(l)的阶数为530,可见缩减后的子结构模型规模比缩减前大大降低。

　　3特殊梁单元的构造

　　缩减子结构可直接离散原刚架,但因刚架立柱可用标准梁单元离散,而标准平面梁单元仅有一个节点(具有两个移动和一个转动自由度),为了与标准梁单元连接并满足变形协调,可将图3中子结构端部的7个2自由度平面单元节卓转换为一个3自由度的梁单元节点。

　　由于梁单元节点位于梁的质心轴上,因此由端部7个节点转换得到的梁节点应位于子结构的对称线上,即位于节点4和节点n的位置。因此,若将子结构转换为图4所示的梁单元,则应有