特殊情况下简支梁的绝对最大弯矩问题

　　现举一例如下,试论“特殊情况下简支梁的绝对最大弯矩”问题。

　　求跨长为20米的简支梁在图示移动荷载作用下的绝对最大弯矩(见图1)。

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　　先按一般情况求解:显然,使跨中截面产生最大弯矩的临界荷载P2=80KN,移动荷载组使P2与梁上荷载的合力R对称于跨中(见图2)。

　　按“一般情况”看,MD即为绝对最大弯矩(MDmax)。

　　再移动荷载组使P1与梁上荷载的合力R对称于跨中(见图3)。

　　与MD比较可知,绝对最大弯矩应为ME,相应的临界荷载为P₁,而不是P₂。究其原因,是因为产生绝对最大弯矩的E载面,此时离跨中的矩离较大所致。由三角形影响线临界荷载的判别式可知,P₂虽然是产生Mcmax的临界荷载,但已不是产生M_Emax的临界荷载,而P1虽不是产生M_cmax的临界荷载,但已是产生M_Emax的临界荷载。所以,这种情况属于“特殊情况”。当这种“特殊情况”的绝对最大弯矩与跨中截面的最大弯矩相差较大时(如本例的M_cmax=1675KN·m;M_Emax=1760KN·m比较可知M_Emax比M_cmax大5.07%),就值得引起注意。那么,在实际计算中,如何区别一般情况与特殊情况呢?经验表明,若产生M_cmax的临界荷载任一侧另有较大的荷载,则此荷载可能是产生M_max的临界荷载,此时应移动荷载组,使此荷载与梁上荷载的合力R对称于梁跨中点,计算此荷载作用点截面的弯矩,通过比较决定绝对最大弯矩。

　　此外,尚可不摆荷载而采用下述判别式来确定“特殊情况”下发生绝对最大弯矩的临界荷载:设梁上受移动荷载如图4、图5所示,合力为R,且在左、右移动荷载组时,梁上荷载无增减。C截面为跨中截面,并设PD为产生M_cmax的临界荷载,PE为可能产生绝对最大弯矩的临界荷载,用ME左表示PE左边的荷载(不包括反力RA)对E截面的力矩,用MD右表示PD右边的荷载(不包括反力RB)对D截面的力矩,由图4可得:

　　由图5可得:

　　当MD>ME时,PD为产生Mmax的临界力,相应的绝对最大弯矩为:

　　当MD<ME时,PE为产生Mmax的临界力,相应的绝对最大弯矩为:

　　令ME>MD,可得判别式如下(a+b=d):

　　则表明当梁上荷载满足(B)式时,为“特殊情况”,此时,产生绝对最大弯矩的临界荷载并不是产生跨中最大弯矩的临界荷载PD,而是PE。例如例题(图2),可用(B)式验证如下(P2为PD,P1为PE,P1与P2间距离为d)。

　　所以P₁=270KN是产生绝对最大弯矩的临界荷载,相应的绝对最大弯矩为(其中ME左=0,PE与R间距离为b):