微分和积分在弯曲内力图中的直接应用

　　剪力图和弯矩图是弯曲变形的内力图。正确地画出梁沿轴线方向的内力图,既可以使人们一目了然地看出内力沿梁轴线方向变化的规律,又可以确定危险截面的位置,为等截面直梁的强度、刚度计算提供依据。而一般材料力学教科书中都是采取先列出剪力、弯矩方程,然后根据内力方程画剪力图和弯矩图。其弊病是当梁上作用的载荷比较复杂时,方程数目较多,计算冗繁,且容易出错。因此,给出一种简便方法画弯曲内力图是十分必要的。

　　1 载荷集度、剪力和弯矩间的关系

　　如图1所示简支梁。梁上作用有集中力,集中力偶和分布载荷q(x)。q(x)是沿梁轴向距离参数x的连续函数,且规定q(x)向上为正。

　　从梁中取出长为d(x)的微段,并放大如图1(b)。微段左边截面上的剪力和弯矩分别为Q(x)和M(x),微段右边截面上的剪力和弯矩分别为Q(x)+dQ(x)和M(x)+dM(x),dQ(x)、dM(x)分别是Q(x)和M(x)的相应增量。C是微段右边截面的形心,考虑微段平衡,由平衡方程

　　结论1:梁任意截面的剪力Q(x)对x的一阶导数等于作用在该处梁上的分布载荷集度q(x)。

　　几何意义:剪力图上某一点的斜率等于对应梁上那一点的载荷集度。

　　由平衡方程∑m_c=0 得省略高阶微量得:

结论2:梁任意截面上的弯矩M(x)对x的一阶导数等于该截面上的剪力Q(x)。

　　将②式再对x求一次导数得:

　　结论3:梁任意截面上的弯矩M(x)对x的二阶导数等于作用在该处梁上分布载荷集度q(x)。几何意义:弯矩图上某点的斜率等于对应梁上那点的分布载荷集度q(x)。

　　将①②式分别积分得:

　　式中[A(q)]_ab:梁上ab段分布载荷图形的面积。分布载荷图在x轴上方,[A(q)]_ab为正,反之为负。

　　[A(Q)]_ab:梁上ab段剪力图的面积。剪力图在x轴上方,[A(Q)]_ab为正,反之为负。结论4:后一截面上的剪力等于前一截面上的剪力加上两截面间载荷图的面积。

　　结论5:后一截面上的弯矩等于前一截面上的弯矩加上两截面间剪力图的面积。

　　由载荷集度、剪力和弯矩间的关系可得出弯曲内力图的规律和特点。

　　2 剪力图、弯矩图的规律和特点

　　2.1 某梁段上

　　2.1.1 当q(x)=0,梁在某一段内无分布载荷作用由①式知,Q(x)=常数,即剪力图是一条平行于x轴的直线。

　　由③式知,M(x)是x的一次函数,弯矩图是斜直线。若Q(x) =常数>0,弯矩图向右上方倾斜(↗),若Q(x) <0,弯矩图向右下方倾斜(↘)。

　　2.1.2 q(x)=常数,即在梁段上有均布载荷作用。由»式可知,在这一段内Q(x)是x的一次函数,M(x)是x的二次函数。因而剪力图是斜直线,弯矩图是抛物线。当q(x) >0即分布载荷向上,剪力图斜率为正,是向右上方倾斜的直线(↗),由可知,弯矩图为向下凸的曲线(U)。当q(x) <0即分布载荷向下,剪力图斜率为负,是向右下方倾斜的直线(↘),弯矩图为向上凸的曲线。