几种载荷下的梁绝对值最大挠度的同一性

　　0　引　言

　　梁弯曲挠度的求解一般遵循以下步骤:1)由几何变形关系推出横截面任一点的应变表达式;2)由物理性质关系一并考虑前式可得应力与曲率半径的关系;3)由截面静力关系联系应力与弯矩;经以上三方面综合,可得曲率半径与弯矩、抗弯曲刚度的表达式;4)根据曲率半径与曲率的关系,将曲率表达为直角坐标下的函数关系;5)忽略高阶微量,列出梁的挠曲线近似微分方程(弹性曲线方程);6)对微分方程积分2次,便可得到挠曲线方程.

　　一般载荷梁的挠曲线方程写为以梁轴线作为自变量的函数.梁的极值挠度则可由先对自变量求一阶导数,并令其为0,求出此函数的驻点坐标,再代回到函数表达式中获得.

　　本文特设一比拟梁,将其与被比拟的原梁部分进行比较,以寻找它们的绝对值最大挠度之间的特定关系.

　　1　几种载荷下梁绝对值最大挠度的比拟

　　这里将几种载荷作用下梁的绝对值最大挠度与一特定悬臂梁的绝对值最大挠度进行比照.若这一特定悬臂梁的轴线与原梁的轴线平行放置的话,则悬臂梁的固定端固结于原梁的绝对值最大挠度处,此处原梁的转角恰好为0,这样定位,并取原梁的一侧杆长作为悬臂梁的杆长,原梁此侧的全部载荷、支反力加于悬臂梁上(原梁最大挠度处的载荷不加),如此所得新梁权称“比拟梁”,遂将比拟梁的绝对值最大挠度与原梁的绝对值最大挠度进行对照,有以下证明(自然,比拟梁的抗弯刚度亦取原梁值).

　　1.1　简支梁跨正中作用一集中力

　　文[1]中给出了简支梁跨中一集中力作用所产生的挠曲线方程

其中:绝对值最大挠度

　　梁A、B支承处的支反力

　　另由文[1]中得出杆长为L的与比拟梁同向悬臂梁的绝对值最大挠度

　　将比拟梁的载荷,杆长和抗弯刚度代入上式,即可得比拟梁的绝对值最大挠度

　　由此可见原梁与其比拟梁的绝对值最大挠度的关系为

　　1.2　简支梁跨中任意位置作用一集中力

　　文[1]中对此梁(如图1)所产生的挠曲线方程给出如下

其中:绝对值最大挠度

　　梁A、B支承处的支反力

　　此梁的比拟梁如图1,梁长

　　利用叠加原理,杆长为L的同向悬臂梁的绝对值最大挠度为(见文[1])

　　将R_B、L等参数代入上式,得该比拟梁的绝对值最大挠度

　　将vmax与wmax对比可知

　　1.3　简支梁右端支承处作用一集中力偶