变截面梁的弯矩和位移计算法

　　文摘:变截面梁的控制方程为变线数微分方程,一般只能用各种近似方法求解,而且比较复杂。对于梁式构件,本文不求解变系数方程,而是用力法,在力法方程中,主、副系数和自由项的莫尔积分使用积分表,可以方便而且精确地求出变截面梁的弯矩和位移。

　　1　引言

　　在土木和航空航天工程实际中,变截面梁有着广泛的应用。但是变截面梁的控制方程为变系数微分方程,求解变系数微分方程一般用近似解法,要得到好一些的解答,无论从公式推演,或计算机求解都比较复杂。本文根据梁式构件的特点,用经典的力法方程,力法方程中的主、副系数和自由项的莫尔积分用积分表进行求积。可以方便而且精确的得到变截面梁的弯矩和位移。

　　文献[1]把有限元法与传递函数法相结合,发展了一种便于处理变系数微分方程的传递函数法。作为应用实例,利用该法对二个变截面梁进行了具体的分析,并作了数值模拟。但是,此二个数值算例不能说明提高了该法的单元精度和方法的优越性。该法的总体弯曲刚度矩阵不对称,经处理变为对称刚度矩阵。由于算例中梁的长细比大于100,载荷又不大,梁的宽度b=1m。按E=100Gpa推算,材料的屈服极限大于等于330Mpa,固支梁中点的弯曲应力小于1/83屈服极限,组合梁固支端的弯曲应力小于1/57屈服极限。由此可见,弯曲变形不是主要的,不能说明该处理方法的正确性。另外,组合结构当h0/h1=0.2时,梁的最大位移已超过梁的最大厚度,且梁的宽度b=1m,自重载荷比外载荷大,二种载荷共同作用下,梁的最大位移更大,需要考虑非线性的影响,算例选取不够好。为了比较,本文仍以此二具体例子进行计算。

　　2　力法方程

　　2.1　两端固支变截面梁

　　两端固支变截面梁(图1),在竖向载荷作用下,不考虑轴向力的影响,其基本结构如图2所示。

　　在图1中,X₁和X₂为左和右固支端的多余力(弯矩)。根据载荷q和多余力X₁、X₂共同作用下,左、右端转角等于零的条件,可以写出力法方程

式中,自由项Δ1p和Δ2p为载荷q产生在基本结构中左和右固支端的转角;主系数δ11和δ22为X1= 1和X2= 1的单位力(弯矩)在基本结构中左和右固支端的单位转角;副系数δ12为右固支端单位力X2在左固支端的单位转角,δ12=δ21。式(1)和(2)中,

　　在上述(3)～(7)各式中,=x/L,

　　算例中,b= 1m,h1= 0.1m,L= 10m,E= 100Gpa,q= 1kN/m,h0/h1= 0.2或h0/h1= 0.9。

　　2.2　变截面梁组合结构

　　两个变截面梁通过弹性(k)连接成组合结构(图3)。