支座位移作用下一对边支承矩形弹性薄板弯曲统一求解方法

　　0　引言

　　板作为构件在土木建筑、机械设计等工程领域有着广泛应用,自1820年纳维叶给出了四边简支矩形板在分布载荷、集中载荷作用下的薄板弯曲问题的第一个解析解后,诸多学者对板弯曲问题进行过许多研究.如文献[1]用叠加法解决了其他载荷作用下的板弯曲问题;文献[2]引入广义简支边概念解决了某些具有支承角点的矩形板弯曲问题;文献[3-4]给出了四边支承和三边支承一边自由矩形板在支座位移作用下弯曲问题的解法.但是板的边界条件和所承受的载荷的多样性,以及现有解法的局限性,使板弯曲的解析解法问题尚未完全解决.对于工程中遇到的还没有解析解的板的受力分析问题,一般都采用数值解法(如有限元法等),由于板弯曲问题的复杂性,虽然数值解法也有较多的研究成果[5],但还未达到完全解决的程度[6-7].本文将给出仅一对边支承的矩形板在边界发生支座位移时的统一解法.

　　1　弯曲统一求解方法

　　图1所示边长为a, b的仅一对边支承(简支或固定)的3种矩形板,本文将导出这3种矩形板发生任意支座位移时的弯曲解.

　　1.1　四边支承矩形板弯曲通解

　　弹性薄板在法向荷载q(x,y)作用下挠度w应满足平衡微分方程

　　式中,D为板的弯曲刚度,D=Et312(1-μ)2,E,μ分别为板的弹性模量及泊松比, t为板厚.此外挠度w还满足矩形板4边的边界条件.设方程①的解为

　　其中,w1,w2分别为方程①的通解和特解.w1主要与边界条件有关,而且必须反映出支承边端角点(即简支边或固定边端点)位移而导致板发生的非弯曲变形特征.为反映板的双向弯曲变形并对应板的8个边界条件,w1的一般形式是包含8个待定常数的双向单三角级数,三角级数必须是一个完整的正交三角函数族,其形式要切合板边界所能激发出的弯曲变形形态.w2主要和荷载有关.

　　取通解w为：

　　式中,α=mπa;β=nπOb;Am,Bm,Cm,Dm,En(E0),Fn(F0),Gn(G0),Hn(H0)为8个待定常数;ΔO,ΔA,ΔB,ΔC分别为O,A,B,C角点的支座位移值,体现了支承边端角点位移使板产生非弯曲变形的特点.级数∑∞m=1,2,3sinαx在x =0和x =a时为零,符合x =0和x =a为支承边的变形特点.级数∑∞n=0,1,2cosβy在y=0和y =b时均不为零,符合y =0和y =b为自由边的变形特点.第2级数中的n必须从零开始才是一个完整的正交函数族.

　　级数∑∞m=1,2,3sinαx和∑∞n=0,1,2cosβy分别在数[0,a]和[0,b]区间上具有下列正交性:当i,j为任意正整数时,有

　　1.2　支座位移时板的弯曲