计算结构稳态强迫振动的有限元传递矩阵法

    0　引言

    采用结构有限元离散化模型分析结构在周期性激励力作用下的动力响应,常采用振型迭加法求解.对于大型复杂结构,采用有限元法离散后,其结点数目较大,且为了保证计算精度,必须计算足够多的固有频率与振型,一般耗时较多.传递矩阵法是一种计算效率较高的数值分析方法,我们曾对阶梯形变剖面梁导出了计算稳态强迫振动的精确传递矩阵法[1],该方法无需计算固有频率及振型,且在理论上是精确解.然而,该方法仅适用于一维结构,适用范围不广.1972年DOKAINISH M A[2]提出有限元法与传递矩阵法相结合的方法(FE-TM)用于板的自由振动分析,该法与一般的有限元法相比,其优点在于只需形成子结构的刚度矩阵与质量矩阵,矩阵阶数较低,占用计算机内存较少,计算速度较快.文献[3-5]等又做了进一步的工作.在上述这些文献的工作中对周期性激励的响应分析仍都采用了振型迭加法,但振型迭加法的一个显著缺点是不能够给出为获得满足精度要求的解所需计算的结构振型数,计算的振型数取少了,精度不够,计算的振型数取多了,耗时又过多,因而给计算带来了盲目性.本文基于FE-TM法的思想,提出有限元直接求解法与传递矩阵法相结合的迁移子结构方法,用于结构受周期性激励力作用的稳态响应分析,避免了特征值问题的求解,大大提高了计算效率.在普通的FE-TM法中,实施的是子结构界面状态向量的自左向右的传递,联系整个结构左、右界面状态向量的总传递矩阵是所有子结构传递矩阵的乘积,大量传递矩阵的连续相乘必将产生较大的舍入误差积累.此外,计算中涉及到子结构i动力刚度矩阵[G]i的子矩阵[G12]i的求逆,因此[G12]i必须是方阵,从而要求所有子结构的边界自由度数相等,这一要求大大限制了FE-TM法的应用范围,使它只能适用于规则的链式结构.本文参考了Riccati传递矩阵法[6]的思想,提出用刚度方程的传递代替状态向量的传递,有效地减小了因矩阵多次相乘而产生的舍入误差积累,克服了一般传递矩阵法中存在的数字不稳定的严重缺陷,此外,突破了普通FE-TM法中要求所有子结构左、右边界自由度数相等的限制.数值算例表明本文方法具有较高的计算精确度及较广泛的适用范围.

    1　基本理论与公式

    不失一般性,考虑图1所示形状的板结构,整个板分成n个板条子结构,每一个子结构再细分成若干个三角形板单元,很明显,图1中i子结构左界面即是i剖面的右端.设{ U}Li、{N}Li、{ U}Ri、{N}Ri分别为i剖面左端与右端自由振动位移及内力分量,设在i剖面左端,其内力与位移有如下刚度关系:

    1.1　剖面传递