不同支承条件下弯曲振动梁的频率方程及特征值

　　0 引 言

　　梁的固有频率会因为支承条件的不同而产生变化。梁的受激振动情况受其激振力频率与固有频率的影响,而梁的特征值体现了梁的固有频率的大小,因此研究梁的特征值大小对研究受激振动梁的抗振防振以及振动的利用都有重要意义。对于两端铰支、两端固支、一端固支、一端悬臂等支持条件下梁的振动频率方程及特征值的推导早已有人做过。在工程实际中,梁的支承条件往往可以简化为两端带有扭转弹簧的铰支梁的形式,所以本文主要推导此种支承条件下梁的振动频率方程及特征值。

　　1 频率方程推导

　　假设长度l,弯曲刚度为EI,单位体积质量为p的梁(如图1-a)在平面内作弯曲振动,且忽略剪切变形的影响,只考虑梁各点的横向位移,在梁上距左端x处取微段dx,其受力情况如图1-b所示。

　　根据达朗伯原理,有

　　略去以上两式中dx的二次项,并利用材料力学原理化简得

　　利用分离变量法可以得到

　　我们把kL称为特征值,(kL)²与梁的固有频率成正比(实际有。

　　1.1 两端带有扭转弹簧的铰支梁的频率方程及特征值

　　特征值kL只与梁的边界条件及物理特性有关,而不受其它条件影响。下面,我们分析两端带有扭转弹簧的铰支梁的频率方程及特征值(如图2)。

　　设两端扭转弹簧的弹性系数为K₁、K₂,其边界条件如下:

　　两端y向位移为零:

　　y(0)=0

　　y(L)=0

　　两端力矩平衡:

式(1)代入以上边界条件确定系数Ci,(i=1,2,3,4),有方程组:

　　将前两式代入后两式,消去C₂和C₄有

　　以上两式只有当满足系数行列式不等于零的条件时,C₁和C₃才能有非零解。显然此时C₁、C₂、C₃、C₄皆不为零。据此条件得

　　化简行列式(用第2例减去第1列,第1行乘上EIk,然后第2行加上第1行)得

　　展开行列式得到频率方程

　　1.2 特殊支承条件下梁的频率方程和特征值

　　由两端带有扭转弹簧的铰支梁的频率方程可推得其它一些特殊支承边界条件下的频率方程。

　　1.2.1 一端固定、一端带有扭转弹簧的铰支梁

　　一端固定、一端带有扭转弹簧的铰支梁,如图3所示。

　　此种支承条件相当于图2支承条件下的情况。把(3)式两端同除以的极限,得此种支承条件梁的频率方程如下: