薄板有限元广义混合法及克服病态问题研究

　　1　引　言

　　1981年荣廷玉[1]首次提出了线弹性理论和广义混合变分原理(简称GMVP),后来又将它推广到大位移非线性等更一般情况[2]。这种变分原理的泛函中同时包含有位能成分和余能成分,而且它们所占的比例可以通过变化分裂因子的值来任意调节,这就使得用该变分原理所建立的有限元模式兼有位移元和应力元两者的优势。用GMVP建立的有限元广义混合法简称GMFEM,具有以下特点[3]:第一,GMFEM是一种可变比例的混合型有限元;第二,模型的刚度可以调节;第三,可以提高解的精度,克服常规有限元中所存在的某些病态问题。

　　本文将用薄板的GMVP[4]建立薄板的GMFEM,并讨论分裂因子的选择方法及克服病态问题的机理。

　　2　薄板弯曲理论的广义混合变分原理

　　1981年文[4]中提出的有关薄壳和薄板的变分原理的泛函可改写为下面的(1)式,其中,B是分裂因子,可以理解为权重,起着调整位能及余能在泛函中所占的比例的作用,是一个无量纲的量。

　　对于非协调元,如果抛开权重的概念,让β在[0,1]之外取值,有时会得到更好的效果[4]。泛函(1)中令分裂因子B为1,则其转化为最小势能变分原理的泛函,令β为0,则其转化为H-R变分原理的泛函。

　　其中Eβ=βE,Cβ=- (1 -β)E^-1,E是板弯曲问题的弹性矩阵,G、ν分别是剪切模量和波桑比,h是板厚,A为板的中面域,Su上给定位移ω和,而在SP上指定边界力Mn和Qn,n是S的单位外法线,Mx,My,Mxy分别是x和y方向上的弯矩及扭矩,q为横向荷载集度, ω是板的中面挠度。

　　3　薄板弯曲问题的广义混合有限元

　　选取三角形板单元,单元结点位移为de,位移函数同文[5],同一单元的内力矢量当作常数记为φ₀,将结构离散后泛函(2)转化为

　　其中β是单元应变矩阵,q是单元荷载混合矢。由可给出最终的代数方程组。

　　4　分裂因子的选法

　　分裂因子的取值对有限元解的精度有很大的影响,可以调节有限元模型的刚度,使有限元模型能更好地适合弹性体的真实情况。如何确定分裂因子的最优值是计算的关键。

　　文[2]曾给出过优选分裂因子的一般准则,即弹性理论中任一待求的量记作k~,对分裂因子B的偏变分等于零。即

　　该式操作起来不方便,原因是在有限元的求解中,弹性力学待求量与分裂因子之间不可能有显式表达式。本文给出选取分裂因子的谱条件数法。

　　影响有限元计算精度的一个重要参数是其刚度矩阵K的谱条件数C(K),其定义为

　　其中λmax、λmin分别是刚度矩阵K的绝对值最大和绝对值最小特征值。矩阵的谱条件数越小,计算精度越高,谱条件数很大时,计算精度则可能很差,甚至发生病态。GMFEM的总刚矩阵K是混合型的,含有分裂因子β,设其是n阶的,则其特征方程为