应变势能的意义与表达方式

　　能量原理是工程力学的一个重要课题，它涉及的问题广泛，应用普遍。笔者从势能的基本概念出发，着重从物理概念以及计算模型上就应变能中的某些问题提出一些看法。

　　1 应变势能是以应变(或位移)为基本未知量的函数

　　能是物体状态的函数，势能是物体位置状态的函数，一个弹性体是一个质点系，该系统在变形前和变形后各质点的位置发生了变化，因而系统的势能发生了变化。在外力作用下，弹性质点间产生了附加内力，即通常所说的内力，这个内力就是弹性力，考虑任何一个质点，它的能量之所以发生了变化，是因为它与相邻的质点间产生了能量传递，这种能量的传递是通过质点间的相互作用来实现的。在牛顿力学里，力代表物体间的相互作用，可见，能量的传递是通过力来实现的，即通过力做功来实现。在这里，质点间的能量传递是通过弹性力作功来实现的。对于r0所考虑的质点，从位置 到位置r 弹性势能的增加量用弹性r0力作功的负值来定义，或者说，如果选 位置为初始位置，则r处的弹性势能表示为

　　式中，U( r ) 代表r 处的弹性势能，F是弹性力。

　　注意到弹性力 F是有势力，它仅是质点位置坐标的函数，弹性力的功与积分路径无关，只与作功的起、始点位置有关，弹性势能仅是起、终点位置的函数。如果把坐标原点选择在变形前位置，那么变形后点的位置的坐标就是该点的位移分量，可见，弹性势能是点的位移函数。

　　弹性力是弹性体质点间的内力，它是相互作用的两个质点所共有的。因而，讨论任何一对相互作用的质点，所谓弹性势能是这两个质点所共有的。如果它们之中的任何一个不存在，它们之间的弹性力也就不存在，自然也无所谓弹性势能了，两个质点所共有的弹性势能只与它们之间的相对位置有关。按照习惯的表示方法，质点间的相对位置的改变就是应变。如果选择未变形时的位置作为势能零点，那么，势能的改变量就是形变后弹性体的势能。这样就可以说弹性势能是应变的函数，故弹性势能又称为应变势能，即通常简称的应变能。

　　以上讨论说明，应变势能是应变(或位移)的函数，这是根据势能定义得到的必然结论。应当指出的是，当应变势能用位移表示时，应从移分量中排除纯刚体位移部分，只有这样，将应变势能表达为位移函数或表达为应变函数时二者才是等价的。

　　对于这个基本概念，许多力学教科书却往往忽略了。

　　以材料力学为例，在表达简单应力状态下的应变比能W时，通常采用了类似下面的办法：