三向应力状态图解法的研究

　　应力状态包括单向应力状态,二向和三向应力状态,对于单向和二向应力状态的应力分析解析法和图解法在工程力学中都有较详细的论述.但三向应力状态的应力分析只有解析法定性的论述,没有图解法的分析.而解析法又非常繁杂.本文研究了用图解法画出三向应力状态斜截面上应力分量的方法,使工程力学应力分析的方法都可以应用图解法来分析,使讲授工程力学的教师和工程技术人员解决实际问题有了既简便又准确的方法.

　　1　任意斜截面上的应力计算

　　在三向应力状态下,当三个主应力已知时,其任意斜截面上的应力σn、τn如图1(b)所示,可以通过理论计算得知[1].在以σn为横坐标,τn为纵坐标的坐标系中,由下列三个圆周的交点的坐标值来表达.

　　(1)式中的l、m、n为斜截面的三个方向角余弦.当σ1、σ2、σ3和l、m、n已知后,可以作出(1)式中三个圆周中的任意两个,其交点的坐标即为所求斜截面上的应力.但比较繁杂.如约定σ1>σ2>σ3,且l2≥0,则(1)式中有l2(σ1-σ2)(σ1-σ3)≥0,所以第一式所确定的圆周的半径大于和它同心的圆周BC的半径.

　　BC的圆为:σn-σ2+σ322+τ2n=σ2-σ322

　　说明(1)式中的第一式所确定的应力圆周在圆周BC之外;用同样的方法可以说明(1)式中的第二式所表达的应力圆周在AB之内,因为m2(σ2-σ3)(σ2-σ1)≤0.(1)式中的第三式所表示的应力圆周在AC之外,因为n2(σ3-σ1)(σ3-σ2)≥0.这样(1)式应力的解交点D,亦即斜面上的应力在图1(a)中的阴影线的部分之内

　　2　图解法求任意斜截面上的应力

　　虽然对于三向应力状态任意斜截面上的应力σn、τn可以通过公式(1)中的三个圆的交点求出,但是在求解的过程中,计算繁杂,而应用图解法来找到D点坐标却相对简单,如图2,其作法如下.

　　1)在σ、τ直解坐标中,在σ轴由原点取线段

　　OA =σ1,OC =σ2。OB =σ3图2(b).

　　2)以AB、BC、CA为直径画出莫尔圆.

　　3)由A点作与τ轴成α角(按逆时针方向),并引直线与圆K13交于点Eo由B点作与τ轴成γ角(按顺时针方向),并引直线与圆K13交于F点.

　　(4)由圆K23与K12的圆心O1、O3画弧ED与FD,此二弧相交于D点.D点的坐标即表示法线为n的平面上的正应力和剪应力,而OD的长度表示该面上的总应力Pn.

　　3　图解法正确性的证明

　　首先计算半径第度O1E = r1,O3F = r2,由

　　由于: