受分布载荷复合材料层合梁应力分析的一般理论

　　1　引　言

　　对于复合材料层合梁受分布载荷的应力分析问题,目前来说,主要有以下几种解法,一种是不考虑横向剪切变形,即采用平面假设[1],横向剪应力依靠平衡方程求得。这种解法比较粗略,一般只在做定性分析或求解精度要求低的情况下采用。第二种是考虑横向剪切变形,采用单直法线假设、多直法线假设或二次曲线以及更高次曲线假设[2~4],即认为剪切变形沿厚度服从某一曲线分布。这种做法较前面的一种有所改进,在横向剪应力的求解方面提高了分析精度,对于一般的弯曲问题都能得到满足精度要求的解,但是对于要求进行局部应力分析的弯曲问题,例如接触问题,局部的接触压力不容忽视,但上述方法并没有考虑层合梁的横向变形,这样会造成局部应力分析上较大误差。本文采用正交完备的三角级数和勒让德级数构造层合梁中每一铺层与层间胶层的位移场,充分考虑了层合梁的横向变形。计算结果显示,这种解法的收敛性非常好,根据物理方程与根据平衡方程得到的横向剪应力和横向正应力分布非常一致。

　　2　层合梁受力模型的简化

　　图1表示两端简支复合材料层合梁,其上表面承受分布载荷(为分析简单起见,设为均布载荷)。梁总长为l,梁高为2h,梁的厚度被视为单位厚度。

　　层合梁承受的总压力为2P。

　　首先将图1所示的原始受力状态分解为反对称受力状态<α>和对称受力状态<β>,如图2(a)、图2(b)所示。

　　通过以上的分解,在求解时,可以对这两种受力状态分别进行分析,大大简化了问题的求解。

　　3　反对称受力状态的求解

　　3·1　反对称受力状态位移场的函数项级数展开

　　如图2(a)所示,层合梁受关于x轴反对称以及z轴对称的横向载荷,故横向位移w为z与x的偶函数。而其纵向位移u为z与x的奇函数。据此,可设:

　　上式中:m、n= 1, 2, 3…,表示级数中函数项的编码;k表示层合梁的铺层编码为待定广义位移;同时

　　3·2　压力分布的三角级数展开

　　反对称状态中层合梁上表面所受压力分布可表示为:

　　上式中p0为分布压力集度。

　　由式(2),总外载荷P与压力集度有如下关系:

　　上式中,b为层合梁的宽度。

　　将外载荷用三角级数展开:

　　3·3　能量解法

　　现在应用分区广义势能原理[5]满足平衡方程、静力边界条件以及界面的位移与面力连续条件以确定广义位移。

　　层合梁的应变能可由以下表达式得到