轴压柱壳弹塑性稳定性分析的通用方程推导

    屈曲是壳体材料成型及制造过程中的一种失效方式,研究具有缺陷的薄壳弹塑性稳定性理论的目的是为建立可应用于实际工程薄壳结构的稳定性设计准则提供理论基础[1].由于含缺陷薄壳弹塑性屈曲问题同时涉及几何非线性和物理非线性的交互作用,使得问题的合理解决十分困难和复杂.也正因为这些本质因素使得该问题的研究具有重要的理论和应用价值,该问题一直是近现代力学研究的重点方向之一[2,3].

    相对来说目前的薄壳弹性稳定性理论是比较完善的,一些更深入的研究主要集中于各种形状的壳体在各种加载下的屈曲和后屈曲理论和数值分析[4~7],而对壳体塑性屈曲造成的材料在成型和制造过程中的失效力学行为的研究尚处于新兴发展阶段和困难时期.原因是:(1)壳体塑性屈曲机制一直没有弄清[8,9];(2)材料不可避免的缺陷,几何非线性和物理非线性性等一系列使结构失效的因素的本身认识还是目前力学家和材料学家研究的重点[10];(3)壳体材料成型和制造过程出现的屈曲和起皱使结构形状发生严重变形.这使结构承载能力急剧下降而使结构不能发挥其原有的作用,这一实际工艺中的失效行为是由于材料本身的各种特性(包括各种缺陷),环境因素(如腐蚀,蠕变等)和各种复杂的加载边界条件,接触边界条件等相互作用的结果,这种材料学科和固体力学的交叉研究目前报道得还不是很多,更谈不上完善[2,3].

    1　失稳屈曲波形函数

    取坐标轴分别与柱壳的轴线和周线相重合,轴为柱壳的外法向.

    选择轴压导致的失稳屈曲波形函数

　　w = f0+f1sin(mπx/L)sin(ny/R)+f2sin²(mπx/L)sin²(ny/R).   (1)

式中:f0、f1、f2为待定屈曲参数,m、n分别为纵向屈曲半波数和周向屈曲全波数,L、R分别为柱壳的长度和周向主曲率线的半径.

    初始缺陷挠度假设为:w0= kww,引入λ=1+2w0/w=1+2kw作为Donnell初始缺陷因子.

    2　柱壳在一般外力作用下的变形协调方程

　　引入Airy应力函数φ(x,y),使得

式中:各系数a11、a22、a12、a66、a16、a26,以及后面的b11、b22、b12、b66、b16、b26为弹塑性失稳系数[1].

    3　轴压导致的屈曲分析

    利用能量法进行柱壳屈曲分析.

    假定为屈曲前无矩应力状态,应力函数满足如下应力边界条件:

 式中:σ0x、σ0y、τ0xy为屈曲前无矩应力状态.

    3.1　由变形协调方程确定应力函数φ的表示形式

    由式(1)计算式(2)右端得到

值得注意:从式(6)中最后两式可知,当且仅当a26=a16时,式(6)成立,这一结果的得出是被选用挠度函数式(1)所带来的必然(因为组合项中缺乏对应的余旋项cosαxcosβy与cos2αx);另一方面,根据Prandtl-Reuss本构方程[4]有当a26= a16时在前屈曲状态τxy=0,这也说明屈曲挠度函数式(1)不适用于包含扭矩作用的柱壳屈曲分析.因此只需对柱壳前屈曲状态为无扭矩状态且τxy=0的一般弹塑性屈曲问题进行分析.