二对边简支矩形板振动分析的有限条一传递矩阵法
1968年,Y.K.Cheung(张佑启)教授首先提出用有限条法求解薄板的弯曲问题,后又推广至板壳的振动与稳定,箱形桥梁与折板等问题112].有限条法相对于有限元法的显著特点是,未知量大大减小,使弹性力学的二维问题化为一维问题,三维问题化为二维问题,单元刚度矩阵降阶.本文将有限条法与传递矩阵法结合起来,求解二对边简支,另二边为其他支承的矩形板的固有频率.相对于有限条法,未知量进一步减小,传递矩阵为4x4阶,占用计算机内存更小,计算也很简便·
1位移函数
有限条法与有限元法不同,只需沿某个方向采用简单的多项式.例如图la,将薄板分成很多有限条,沿x‘向展为三次多项式,沿厂向展为梁振型函数.考虑其中的一块有限条,见图lb,其两侧边为i和j,位移函数为:
或写为
式中
b为条宽,亡为对应于占。的形函数,欢为梁振型函数.
满足夕=0及y=a为简支端部的边界条件,取
令式(l)又可记为
2有限条元的刚度矩阵和质量矩阵
先从静力问题考虑,设薄板仅受横向均布载荷q的作用,其中任一块板条的总势能17应包含条的变形能、均布载荷q和条i、j两侧作用力的势能t习之和,即
与有限元法类同,弯扭变形列阵X及内力矩阵丽均可用位移列阵占。表示,对于各向同性薄板有
式中
弹性矩阵
式(3)的最后一项为板条i,j两侧的剪力和弯矩的势能.
由最小势能原理
可得静力问题方程
式中K为刚度矩阵
每一子矩阵
F为与q有关的载荷列阵,f为板条两侧作用力列阵,占为位移列阵,有
对级数第m项,有
当厚度为h的薄板处于运动状态,运用达朗贝尔原理121,将动力学问题化为静力学问题,即在结构上施加与加速度方向相反的分布惯性力,并代人式(4)中的F列阵中.假设系统不存在阻尼力和外部激振力,通过方程(4)得到
当板横向振动时,板的各点作谐振动为
再记占为以振幅表示的位移列向量,了为以力幅表示条元i,j两侧的力向量·代人式(6)得
式中的质量阵
每一子矩阵
利用殊三角函数系的正交性,使M、K化为分块的对角阵.
则
这样级数各项不再藕联,可分别求解,式(7)最后可化为简单形式
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