二对边简支矩形板振动分析的有限条一传递矩阵法

　　1968年，Y.K.Cheung(张佑启)教授首先提出用有限条法求解薄板的弯曲问题，后又推广至板壳的振动与稳定，箱形桥梁与折板等问题112].有限条法相对于有限元法的显著特点是，未知量大大减小，使弹性力学的二维问题化为一维问题，三维问题化为二维问题，单元刚度矩阵降阶.本文将有限条法与传递矩阵法结合起来，求解二对边简支，另二边为其他支承的矩形板的固有频率.相对于有限条法，未知量进一步减小，传递矩阵为4x4阶，占用计算机内存更小，计算也很简便·

　　1位移函数

　　有限条法与有限元法不同，只需沿某个方向采用简单的多项式.例如图la，将薄板分成很多有限条，沿x‘向展为三次多项式，沿厂向展为梁振型函数.考虑其中的一块有限条，见图lb，其两侧边为i和j，位移函数为：

　　或写为

　　式中

　　b为条宽，亡为对应于占。的形函数，欢为梁振型函数.

　　满足夕=0及y=a为简支端部的边界条件，取

　　令式(l)又可记为

　　2有限条元的刚度矩阵和质量矩阵

　　先从静力问题考虑，设薄板仅受横向均布载荷q的作用，其中任一块板条的总势能17应包含条的变形能、均布载荷q和条i、j两侧作用力的势能t习之和，即

　　与有限元法类同，弯扭变形列阵X及内力矩阵丽均可用位移列阵占。表示，对于各向同性薄板有

　　式中

　　弹性矩阵

　　式(3)的最后一项为板条i,j两侧的剪力和弯矩的势能.

　　由最小势能原理

　　可得静力问题方程

　　式中K为刚度矩阵

　　每一子矩阵

　　F为与q有关的载荷列阵，f为板条两侧作用力列阵，占为位移列阵，有

　　对级数第m项，有

　　当厚度为h的薄板处于运动状态，运用达朗贝尔原理121，将动力学问题化为静力学问题，即在结构上施加与加速度方向相反的分布惯性力，并代人式(4)中的F列阵中.假设系统不存在阻尼力和外部激振力，通过方程(4)得到

　　当板横向振动时，板的各点作谐振动为

　　再记占为以振幅表示的位移列向量，了为以力幅表示条元i，j两侧的力向量·代人式(6)得

　　式中的质量阵

　　每一子矩阵

　　利用殊三角函数系的正交性，使M、K化为分块的对角阵.

　　则

　　这样级数各项不再藕联，可分别求解，式(7)最后可化为简单形式