有限变形条件下晶体弹-塑性应力应变关系

　　0　引　言

　　根据单晶体的应力—应变的实验关系,去推算多晶体的力学行为,这是塑性力学和材料结构学研究的主要内容。1972年神马敬等[1]建立了小变形条件下的晶体弹-塑性本构理论。从1983年起,林实、钱仁根、卫超等人[2],改进了神马的方法,用计算机模拟了双晶试样的拉伸。1989年沈华、钱仁根等人将晶界不再作为理想界面,而作为具有弹-粘塑性行为的、可以滑动的界面,并计算了此种情况下双晶的拉伸变形。

　　当计算晶体的织构或研究晶体裂纹尖端的应变和应力场时,由于此时应变量较大,应该采用有限变形条件下的晶体弹-塑性应力应变关系。1978年后滕(Gotoh)[3]提出了考虑晶格转动的有限变形条件下的晶体弹-塑性理论。本文在后滕工作的基础上,根据晶体滑移的特性,建立了计算模型,推导了单晶体的弹-塑性本构方程的矩阵表达式。

　　1　计算模型的建立

　　本文是在下列假设下建立计算模型的。晶体是面心立方晶体;晶体的弹性是正交各向异性;晶体的塑性变形是由滑移产生的,且晶体内的弹性变形不受滑移的影响;晶体中滑移开动的必要条件是作用在该滑移上的分剪应力值达到临界值τc;晶体的硬化服从Schmid硬化规律[4];晶界是理想界面,晶界本身没有滑移和迁移。

　　2　变形条件下晶体弹-塑性应力应变关系

　　2.1　晶体的伸长率和旋转率

　　设晶轴坐标系为{x}={x1x2x3}T,整体坐标系为{X}={X1X2X3}T,且{x}=[λ]{X}.其中[λ]为坐标转换矩阵。

　　面心立方晶体共有四个滑移面,每个滑移面上有三个滑移方向,所以共构成12个滑移系。设第α个滑移系上滑移面的法向方向余弦为{m}(α),其滑移方向的方向余弦为{s}(α).

　　晶体变形可分为两部分:一部分是晶体的滑移,另一部分是晶格畸变(它包括晶格转动和刚性转动)。畸变后,滑移面法向方向余弦变为{m*}(α),滑移方向的方向余弦为{s*}(α).

　　速度{v}对晶轴坐标{x}的导数,称为速度梯度[L].

　　它的对称部分称为伸长率[D·],非对称部分称为旋转率[ω·],且

　　[D·]中因滑移引起的塑性部分为[D·P],因畸变引起的弹性部分为[D·*],所以有:

　　第α个滑移系剪应变率为γ·(α),则因滑移引起的伸长率和旋转率分别为：

　　2.2　弹性状态下单晶体的应力应变关系设{σ}为Jaumenn应力率, {Δσ}为与之相应的应力增量。{σ·}为Cauchy应力率, {Δσ}为与之相应的Cauchy应力增量。在晶轴坐标系下有:

　　式中:

　　{ΔD*}为[ΔD*]的列阵表示,

　　[ΔC*]为弹性矩阵,

　　设整体坐标系下, Jaumenn应力增量为{ΔΣ}, Cauchy应力增量为{ΔΣ},伸长率增量为{ΔE},弹性矩阵为[De] .根据坐标转换,有