轴向力作用下弹性支承连续梁的固有横振

　　连续梁是一种常见的静不定梁,在航空、机械、土木建筑等工程中得到广泛应用.对于中间支承较多的连续梁的横向振动,由于问题的复杂性,在分析中多采用能量法、迭代法、传递矩阵法等进行近似计算.文献[1]分析了轴向力作用下连续梁的横向振动,得到了频率方程和振型函数的解析式.但忽略了中间支承的质量和弹性,把中间支承当作刚性支承来处理,所得公式对于类似于弹簧—质量—弹簧轴承支承连续梁(例如多轴承挤压油膜转子)不适用.文献[2]虽然研究了考虑支承质量时弹性支承连续梁的固有横振,但却没有考虑轴向力的作用,且考察的情形不够周全,所得的频率方程和振型函数公式遗漏了部分固有频率和振型。本文在文献[1]的基础上全面分析了轴向力作用下考虑支承质量时弹性支承均匀连续梁的横向振动问题,推导了全面、完整的频率方程和振型函数的解析公式,分析了支承质量和支承弹簧刚度对连续梁固有频率的影响.

　　1　振动微分方程

　　图1是一个两端刚性铰支、受轴向压力作用的连续梁模型,中间的支承轴承简化为弹簧—质量—弹簧结构.Mi、k1i、k2i分别表示第i个支承轴承的轴承座参振质量、油膜刚度和静刚度.设y(x,t)为梁的横向位移,R(xi,t)为第i个支承作用在梁上的约束反力,由振动理论[3]可以推导出在轴向压力P及横向集中力R(xi,t)(i= 1,2,……,n)作用下简支梁的横向振动微分方程为

　　式中δ(x-xi)为δ函数[4],EI为抗弯刚度,ρ为密度,A是横截面积.

　　边界条件为

　　当连续梁自由振动时,中间支承座Mi的位移v(xi,t)(从静平衡位置算起向上为正)随时间的变化规律与梁的自由振动规律一致,于是可令

　　则梁上第i个节点的位移为

　　2　频率方程和振型函数

　　对式(7)进行拉普拉斯变换得^[5]

　　式中u(x-xi)是单位阶跃函数[1].下面需要分两种情况讨论.

　　1)第一种情况

　　当中间支承对应的梁上节点的位移Y(xi)(i=1,2,……,n)不全为零时,可以得到振型函数为^[1]

　　式中{Y} = [Y(x1)　Y(x2)　……Y(xn)]T.因为Y(xi)(i= 1,2,……,n)不全为零,所以式(14)的系数行列式必为零,即

　　式(15)就是轴向压力作用下两端刚性铰支弹性支承连续梁横向振动的频率方程.将此式展开并将式(9)、(11)及k4=ρAω2/(EI)代入就得到一个关于ω的超越方程,然后利用解超越方程的数值计算方法,例如二分法、弦截法、优选法等就可以求出系统的固有频率ω.再把求得的结果代入式(14)求出Y(xi)(i= 1,2,……,n)的比值,再将Y(xi)的比值代回式(13)就可以求出对应各阶固有频率的振型函数.