带分布质量梁的自振频率分析

0　前言

在工程中,从力学角度看,有不少结构是属于多自由度系统的问题,工作时会遇到交变载荷的作用。例 如,工厂中的吊车梁,梁上安装着驱动电机,如果电机有微小的质量偏心e,则当电机以角速度φ工作时,就 会产生偏心力me·e·φ2,其垂直分量会使梁产生一外来的交变载荷,此时梁除了要考虑一般的交变应力引起 的疲劳强度外,还要考虑避免结构的共振问题,一旦发生共振,结构将很快遭到破坏。因此,必须考虑结构 的固有频率,即自振频率。由于梁可能分布着不可忽略的自身质量,特别是有突变的质量的梁,需采用离散 的方法,成为多自由度体系。结合生产中可能出现的问题,在此作一些探索性研究。

1　运动方程的建立

　  如图1所示,梁AB上的分布质量为-m(x),-m(x)可能不规则分布,故质量分布用离散的,被分成n个 有限线段的集中质量用mi=-m(x)·Δx表示,近似集中于Δx的某一点处。各段梁的刚度为EIi,电机的质量 me假设在梁的中点,振动中在每个集中质量的点上,任一时刻的位移y1(t)、y2(t)、…yn(t),它们分别由惯性 力-m1¨y1(t)-m2¨y2(t),…-mn¨yn(t)及外力Pe1(t)、Pe2(t)…Pen(t)的共同作用产生。令fij表示在j点单位力作用 下,i点沿y方向产生的位移(参考文献[1])。例如,f12表示1点在2点单位力作用下,沿y方向产生的位移, 俗称柔度系数;又令yip表示所有外力在i点产生的沿y方向的位移,其它点的位移依此类推,即:

2　频率方程的分析及求解

方程组(2)是一组二阶非齐次的n元线性方程组,由常微分方程理论(参考文献[2]可知;yi具有AiSin (ωt+θ),(i=1,2,…,n)的因子,将它代入(2)得:

展开式(5),可得到一个ω2的n次代数方程,有n个ω2的根,亦即得n个频率ω2,根据参考文献[3]的论述, ω2有n个正实数(或零根),而ω2的开方得到正、负两个实数,根据物理原理,由于ω为频率,是正实数,所以 取算术根,即有n个频率,并从小到大排列,分别为第一频率,第二频率……,用ω1、ω2……ωn表示。

3　吊车梁的自振频率计算

如图2所示,假设车间中吊车梁用20α型工字钢(GB706-65)(参考文献[4])所造,长为l=9米,集中质 量m1=m3=82kg,电机组质量me=78kg,令m0=m2+me=160kg,刚度EI为常数,现测算吊车梁的固有频率 ω。 

限于只研究固有频率,所以外来交变载荷Pe(t)不考虑,即运动方程(2)的右端项为零,适用的方程为方 程(5),为计算方便,这里只取三段进行计算(me与m2已合并成m0),即:

以上计算可以看出,对于吊车上电机如转速n=1450转/分,且存在质量偏心,其偏心力的频率φ约为 24HZ,本吊车梁的最低频率与强迫力的频率φ之比约为1·5,这时,吊车梁可以说是安全的。但如果吊车的 转速为2200转/分时,其偏心力频率φ约为36·7HZ,此时与吊车梁的最低频率相吻合,将发生共振,这是很 危险的,应该避开。