充满多孔介质的变截面圆管内流体流动分析

引　言

在自然界与工程实际中,存在着许多关于流 体在多孔介质内部的流动问题,例如,在自然界中 普遍存在的地下水与石油在土壤或石缝中的渗流 问题,[1]在工程实际中常见的通过某种多孔介质 的过滤或催化反应等问题,[2]在这些实际问题中, 往往会涉及流体通过充满多孔介质的变截面通道 的流动问题.流体在不含多孔介质的管道中的流 动问题已经有了充分的研究与讨论,而流体在充 满多孔介质管道中的流动情况将如何呢?它会具 有哪些独特的性质呢?这个问题具有一定复杂性 且有实际的应用价值,因此引起了人们广泛的兴 趣.本文将利用流线迭代法对充满多孔介质的变 截面圆管内的流体流动进行数值计算,在此基础 上再作进一步的分析与讨论.

1　基本方程

根据自然界与工程中常见的实际情况,本文建立如下的物理模型:

1　流体的密度变化甚小,为不可压缩流体流动;

2　流体的物性与多孔介质的分布情况,是各向同性的;

3　流体在变截面圆管中作轴对称定常流动.流体在多孔介质中流动的连续性方程一般可写成

式中:V为流体的速度;ρ为流体的密度;ε为多孔 介质的空隙率.

按上述基本假设,对于不可压缩流体,通过均 匀分布的多孔介质,ρ与ε均为常数,于是,连续性 方程可以简化为

此方程与不含多孔介质情况下的不可压缩流体流动的连续性方程的形式是相同的.

流体在多孔介质中流动的运动方程,一般可写成

式中:p为流体的压力;fg为流体的重力,若取垂直向上的坐标轴为h,则fg可以表示为

式中:g为重力加速度;eh为h轴方向的单位向量.

重力项一般常可忽略不计,若必须要考虑重力项,为方便起见,可以将其并入压力项中,只要引进一个参量,并且

fV为有效粘性力,对于不可压缩流体的有效粘性力可以写成

式中:μe为有效粘性系数,一般根据实际情况作具体考虑;fp为流体通过多孔介质时所受到的渗透阻 力,对于雷诺数很小的流动,可以根据著名的达西 定律,[2]将渗透阻力fp表示为关于速度V的线性 关系式

式中:Cd为渗透阻力系数,它是一个与流体密度 ρ,动力粘度μ,多孔介质平均有效直径dp,形状 系数Φs,空隙率ε有关的常数.

对于雷诺数较大的流动,渗透阻力fp与速度V之间将偏离线性关系,一般可以写成关于速度V的二次关系式

在一般情况下,有效粘性力比起渗透阻力来 说要小得多,因此,在讨论多孔介质内的流动问题 时,有效粘性力往往忽略不计,而渗透阻力一般宜 采用非线性公式(9).将式(6)与式(9)代入运动方 程(3)中,则可以得到多孔介质中不可压缩流体作 定常流动时的运动方程