简支梁在分布载荷作用下的有限元分析

　　计算力学是计算(机)技术、计算数学和力学交叉而产生的学科分支,它致力于研究采用计算机技术求解工程和科学中的力学及与力学有关问题的理论、算法和软件。它已和理论力学、实验力学并称为工程力学的三大支柱。随着计算机软硬件的飞速发展,对于线性问题,计算力学日益发挥着重要的作用[1]。2D弹性梁单元是解决梁问题用到的最基本的也是较多的单元,因此对其进行探讨有着十分重要的意义。

　　1　平面梁单元的弹性刚度矩阵

　　平面梁单元在载荷作用下移到新的位置,其轴线成为挠曲线。由材料力学知识[2]可知,在考虑纯弯曲的情况下,用能量法表示梁的应变能为:

　　式中, N为形函数(坐标x的函数)矩阵;δe为弯曲位移列阵。由线性代数知识可知:

　　将式(13)代入(8)得平面梁单元的弹性刚度矩阵为:

　　2　平面梁单元上分布载荷的移置

　　用有限单元法计算时,应当把作用在单元上的载荷全部移置到节点上,成为节点载荷。根据载荷移置的原则,应将如图1作用在长l的梁单元上的均布载荷q平均分布到节点1、2上;而且要满足虚功相等的原则,即原载荷与移置后的节点载荷应具有相同的主失和主矩。由于只有分布载荷,且对于杆单元,则有[1]:Qe=,而形函数N和分布载荷q都是x的函数。所。将式(13)代入得:

(15)

　　3　平面梁单元在分布载荷作用下的具体算例

　　如图2所示,假设一简支梁受分布载荷作用,试以有限元法求各点的挠度和转角[3]。条件:q =-1000N/m²;L =10m;b = h =5cm;E =3×1011N/m;I =5·2×10-7m⁴。

　　3·1　计算力学分析

　　首先,进行离散化,将此简支梁分成两个单元来计算,每个长5m。

　　将已知条件代入式(14)得单元1(节点1和2构成)的弹性刚度矩阵:

　　将单元1上的分布载荷移置到两节点上,根据式(15)以及已知条件,得到单元1的节点载荷列阵为:

　　根据单元刚度方程Keδe= Re,并集合单元刚度方程为整体结构有限元基本方程,按次序叠加;再加入边界条件,由于节点1和节点3为固定端,故u1=0,u3=0,划行划列[1]简化得:

　　3·2　Ansys分析

　　利用Ansys有限元分析软件对该算例进行分析,以下是解决该问题的部分Ansys命令流形式:/prep7

　　在计算简支梁的有限元模型中,设有3个节点, 2个单元,受分布载荷作用。其中节点3在中间,节点1和2在梁的两端,这与计算力学分析的节点标号不同。

　　3·3　材料力学分析

　　由材料力学知识[2]知,该问题所示的梁的最大挠度和最大转角为: