随机结构动力响应分析的加权残值方法

　　1　引言

　　许多结构不可避免受到动态载荷的作用,如地震作用于建筑物、台风作用于海上钻井平台、发动机推力作用于火箭、对接碰撞作用于空间站、惯性力作用于汽车等等。大量的工程实际问题表明,结构的故障或破坏往往源于动载,因此在结构设计阶段,迅速而准确地分析和预测结构的动态响应是必需的环节。目前,关于确定性结构在定则激励或随机激励下的动力分析已有一系列较为成熟的方法。然而,在某些情况下,结构本身的随机性和激励载荷的随机性是客观存在且必须考虑的。对于这种随机结构在随机载荷作用下的动力学问题,由于数学处理上的困难,迄今有关研究还相当不成熟[1,2]。目前对随机结构动力学问题的研究主要集中在结构动力特征分析方面,如文献[3~7]。而对随机结构动力响应分析的研究还较少。为此,研究随机结构动力响应的求解方法具有重要的理论意义和非常现实的工程背景。

　　概率论中的矩法是求解随机变量函数数字特征的一种有效方法,该法直接利用泰勒(Taylor)级数将随机变量的函数展开,进而求得随机函数的一、二阶矩等统计特征。加权残值法作为一种半解析的数值方法,可以利用最小二乘法、配点法、伽辽金法、子域法、矩量法等多种方法确定待解问题中的试解函数,从而给出问题解的近似函数表达式[8]。

　　本文正是基于加权残值法和矩法各自的特点,将两者相结合,首次把加权残值方法应用到随机结构的动力响应分析中,提出随机结构在随机载荷作用下响应分析一种新方法。该方法简便可行,且能获得结构中各个参数的随机性对结构动力响应的影响。

　　2　理论推导

　　结构动力响应问题的控制微分方程和边界条件可以如下一般形式表为

　　式中Cj为待定系数,j为给定的试函数项。注意到待定系数个数比试函数项个数少一个,这是因为型函数只是确定结构运动时各点振动的形态,而不能确定其位移绝对值的大小。将式(4)代入边界条件式(2)中,利用加权残值法中的各种方法可确定其待定系数Cj,从而型函数X(x)便可确定。

　　由于时域函数A(t)的变化通常很不规则,应用常规函数作为试函数很难得到较满意的结果,故对A(t)可采用三次B样条函数拟合,则试函数(3)可表为

　　式中m为时域划分数,ci为待定系数,φi为一组三次B样条函数。

　　时域上配点时,使x在定义域上积分。在B样条函数的结点上配点,共有m+1个配点,加上两个初始条件可建立m+3个方程,可以联立解出这m+3个待定系数。必须一提的是,此时解出的系数并非具体的数值,而是关于结构各种参数的函数表达式,再将它们代入所设的试函数中,即可得到结构位移动力响应关于各种结构参数的关系式,将其表为