三维实体问题分析中的元胞单元法

　　1　元胞单元法的基本原理

　　在材料本构关系建模的原则中,有局部作用原理[1]:在决定物体质点X的应力时,可以不考虑X的某邻域之外质点的运动.即认为物体质点的“感知”仅是局部的,它仅能根据周围质点的运动来确定自身的应力和运动,对邻域外的信息是“麻木”的.物体的(静、动)平衡状态是通过其质点间信息(位移、应力等)的相互传递而达到的自组织现象.

　　元胞自动机(CA)[1,2]是一种时空离散化的数学模型,可用于描述具有局部相互作用的系统所能表现出来的复杂的整体行为及其演变.它很容易直接描述元胞间的相互作用,不需要建立和求解复杂的微分方程,而且便于并行计算和动态显示.对于那些可以看作包含许多分立的单元且单元间存在近距相互作用的系统,差不多都可以用元胞自动机来描写系统的行为.当然,在力学问题中各元胞的状态必须由标量拓展为向量(位移)或张量(应力、应变)来表示.

　　由于结构的质点数量是无限的,直接研究各质点在结构受力时的力学行为和演化机制非常困难.但是,可以用有限个质点代替这无限个质点来作近似的研究.因此,如同有限元法一样,考虑将一个完整的结构看成为有限个元胞的集合,沿用有限元的单元剖分和插值思路得到元胞的力学特性,以静力平衡方程为演化规则,按照元胞自动机的自组织原理获得结构处于平衡状态时各单元或质点的最终近似解.

　　对一个待求解的结构,沿用有限元的单元剖分和插值思路,将结构离散为节点和单元后,以各个节点为中心组成元胞,节点Ni的元胞记为Di.对于元胞Di而言,节点力Fi的作用和邻节点Nij的位置约束将决定Ni节点的位移.可将力和变形之间的关系采用增量形式分为两步进行.

　　1)各元胞的节点Ni在节点力增量ΔFi作用下,将产生增量位移Δui.

　　2)节点Ni因有增量位移Δui,又将引起邻节点的节点力增量ΔFki,k=1,…,ni.如此力→位移→力→…的改变在整个物体内各元胞间相互传递,而使增量Δui→0,ΔFki→0的自组织现象,将使物体达到平衡状态.基于局部作用原理,借用有限元离散和插值技术,引入元胞自动机的演化思路,将结构的整体平衡问题改变为局部平衡的求解,这种新的数值分析方法被称之为元胞单元法[3].

　　2　元胞单元法的一般求解过程

　　元胞单元法的一般求解过程可描述如下.

　　1)借用有限元法的离散和插值技术将待解的结构划分为一系列单元和节点(质点).

　　2)以各节点为对象作如下循环运算.

　　(1)对当前计算节点的邻节点施加零位移约束(即固定不动).所谓邻节点是指与计算节点同属某个单元的节点.(2)求计算节点的位移(含转角).若把计算节点及其邻节点所在的区域看作一个元胞(小的子结构),则该元胞的约束条件为周边固定,仅一个节点(当前计算节点)可产生运动.该节点位移可用有限元(刚度法)求解,若用先处理法,最多只需求解一个六元一次方程组,因为一个节点最多有6个方向的位移(含转角).(3)求邻节点的约束反力.由计算节点的位移和其邻节点的零位移求出计算节点所属单元的节点力,由此算得邻节点的约束反力.(4)将计算节点的荷载置零,将邻节点的约束反力反向叠加到相应节点荷载中去.(5)将计算节点位移与前次循环累加并存储.